Familha de partidas

En matematicas, una familha de partidas d'un ensemble ${\displaystyle \ \Omega }$ indexada per un ensemble (non vuege) I es una familha ${\displaystyle (A_{i})_{i\,\in \,I}}$ d'elements de ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ , l'ensemble dei partidas de ${\displaystyle \ \Omega }$ . Autrament dich, es una aplicacion ${\displaystyle I\to {\mathcal {P}}(\Omega )}$ .

Union e interseccion d'una familha de partidas

Estent una familha ${\displaystyle (A_{i})_{i\,\in \,I}}$ de partidas de ${\displaystyle \ \Omega }$  :

• l'union de la familha es l'ensemble deis elements de ${\displaystyle \ \Omega }$ qu'apartènon a aumens una dei partidas ${\displaystyle \ A_{i}}$ de la familha :

${\displaystyle \bigcup _{i\,\in \,I}A_{i}=\{\omega \in \Omega \mid \exists \,i\in I,\,\omega \in A_{i}\,\}}$

• l'interseccion de la familha es l'ensemble deis elements de ${\displaystyle \ \Omega }$ qu'apartènon en totei lei partidas ${\displaystyle \ A_{i}}$ de la familha :

${\displaystyle \bigcap _{i\,\in \,I}A_{i}=\{\omega \in \Omega \mid \forall \,i\in I,\,\omega \in A_{i}\,\}}$

Proprietats

Distributivitats recipròcas de l'union e de l'interseccion

Estent una partida B de ${\displaystyle \ \Omega }$ e una familha ${\displaystyle (A_{i})_{i\,\in \,I}}$ de partidas de ${\displaystyle \ \Omega }$ :

• ${\displaystyle {\Big (}\bigcup _{i\,\in \,I}A_{i}{\Big )}\cap B=\bigcup _{i\,\in \,I}(A_{i}\cap B)}$

• ${\displaystyle {\Big (}\bigcap _{i\,\in \,I}A_{i}{\Big )}\cup B=\bigcap _{i\,\in \,I}(A_{i}\cup B)}$

Complementari d'una union o d'una interseccion

Lo complementari de tota partida A de ${\displaystyle \ \Omega }$ (a respècte de ${\displaystyle \ \Omega }$) se nòta ${\displaystyle \ {\overline {A}}}$. Estent una familha ${\displaystyle (A_{i})_{i\,\in \,I}}$ de partidas de ${\displaystyle \ \Omega }$  :

• ${\displaystyle {\overline {\bigcup _{i\,\in \,I}A_{i}}}=\bigcap _{i\,\in \,I}{\overline {A_{i}}}}$

• ${\displaystyle {\overline {\bigcap _{i\,\in \,I}A_{i}}}=\bigcup _{i\,\in \,I}{\overline {A_{i}}}}$

Vejatz tanben

• Ensemble
• Familha
• Ensemble complementari