Sistèma decimal

Lo sistèma decimal es un sistèma de numeracion utilizant la basa detz. Dins aqueste sistèma, las poténcias de detz e lors multiples benefician d'una representacion privilegiada.

Numeracions decimalas

Lo sistèma decimal es largament lo mai espandit. Atal son constituidas, per exemple, las numeracions :

araba, armeniana, chinesa,

egipciana, gotica, grèga,

ebraïca, indiana, japonesa,

mongola, romana, chovaca,

taï.

Sistèmas de notacion

Los pòbles avent una basa de numeracion decimala utilizèron, amb lo temps, de tecnicas variadas per representar los nombres. Ne vaquí d'exemples.

• Amb de chiffres per un, dix, cent, mille, etc.

Los sistèmas de numeracion que los chifres representan las poténcias de detz son de tipe additiu. Es lo cas de la numeracion egipciana. Exemple: 1506 s'escriut

en ecritura ieroglifica (1000+100+100+100+100+100+1+1+1+1+1+1).

• Amb de chifres per un, cinq, dix, cinquanta, cent, cinc cents, etc.

De tals sistèmas de numeracion son tanben de tipe additiu, mas fan intervenir un sistèma quinari auxiliar. Es le cas de las numeracions atica, etrusca, romana e chovaa. Exemple : 2604 s'escriu MMDCIIII. en chifres romans (1000+1000+500+100+1+1+1+1). La numeracion romana coneis tanben una varianta additiva e sostractiva: 2604, alara, s'escriu MMDCIV. (1000+1000+500+100-1+5).

• Amb de chifres per un, dos, ..., nòu, detz, vint, ..., cent, dos cents, ..., nòu cents, etc.

Los sistèmas de numeracion utilizant nòu chifres per las unitats, a tanben per las desenas, las centenas, etc. son encara de tipe additiu. Es le cas de las numeracions armeniana, araba alfabetica, gotiica, grèga e ebraïca. Exemple : 704 s'escriu ψδ en chifres grècs ionics (700+4).

• Amb de chifres de un a nòu, e per detz, cent, mila, etc.

Los sistèmas de numeracion que los chifres representon las unitats e las poténcias de detz son de tipe ibrid. Es lo cas de las numeracions chinesa e japonesa. Exemple : 41007 s'escriu 四万千七 dins lo  sistèma japonés (4×10000+1000+7). Lo sistèma chinés utiliza en mai lo zèro per indicar de posicions voidas abans las unitats : 41007, s'escriu 四萬千〇七 en chifres chinés (4×10000+1000+0+7).

• Amb de chifres de zèro a nòu

Los sistèmas de numeracion que los chifres representant las unitats son de tipe posicional. Es lo cas de las numeracions araba nonalfabetica, europèas, fòrça numeracions indianas e de numeracions mongòla e taï. Exemple : 8002 s'escriu ๘๐๐๒ en chifres taïs (8002).

Istoric

La basa dets es fòrça anciana. Ven d'una causida naturala, dictada pel nombre dels dets de las doas mans. Los Protoindoeuropèus comptavan benlèu basa detz. Un sistèma de notacion decimala èra realizat:

• al millenari III AbC, pels Egipcians^[1],[2] (lo sistèma egipcian èra pasmens un sistèma decimal sens posicionament^[3],[4]) ;
• abans -1350, pels Chineses^[5] ;
• vèrs -650, pels Etruscs ;
• vèrs -500, pels Indians en sanscrit.

Basas combinadas

Numeracion decimala combinada amb una basa auxiliara

Las numeracions decimalas utilizan a vegada de basas auxiliaras:

• Un sistèma quinaei auxiliae es utilizat dins unes sistèmas de notacion e per enonciar de nombres dins unas lengas, coma lo wolof.
• Un sistème vigesimal auxiliar es utilizat per enonciar de nombres dins unas lengas, coma en basc o en francés.

Numeracion decimala utilizada coma sistèma auxiliar

• En occitan e dins gaireben totas las lengas del mond, los sistèma decimal s'aplica, al sens mai estricte, fins a 9 999, cada poténcia de detz essent, de l'expausant un a l'expausant tres, designada per un tèrme pròpre (10¹ = « detz » ; 10² = « cent » ; 10³ = « mila »). Stricto sensu, l'enonciacion dels nombres superiors a 9 999 es pasmens pas pus decimala quand, dins las poténcias de detz expausants superiors a tres, an pas una denominacion pròpra d'aquestats que correspondon a de poténcias de mila.
• La basa mila modifica l'escritura en chifres de la partida entièra dels grands nombres, atal per ne facilitar la lectura (ex. 12345678 s'ecriu o amb d'espacis 12 345 678 o amb de separators (l'apostrofe: 12'345'678 ; lo punt : 12.345.678 oa la virgula : 12,345,678 segon los païses)), mas se deu pas separar los chifres de la partida decimala los uns dels autres.
• La numeracion babiloniana e los sistèmas de mesura del temps e dels angles en minutas e segondas, sexagesimals, utiliran un sistèma decimal auxiliar.
• La numeracion maia, pasmens s'es vigesimala, daissa aparéisser un sistèma decimal auxilar dins l'enonciacion dels nombres.
• Las lengas chinesas e japonesas utilizan la basa detz mila amb det coma basa auxiliara.

Avantatges

Gaireben totas las lengas viventas descompausan los nombres en basa 10 en rason d'atots coma:

• lo compte suls detz dets es plan intuitiu;
• son òrdre de grandor es satisfasent, que permet de reduire plan la longor de fòrça nombres al vejaire de la basa 2, tot en gardant de taulas d'addicions e de multiplicacions memorisablas.

Matematicas

Conversion cap a la basa N d'un nombre escrich en basa decimala

Per passar d'un nombre en basa decimala cap a un nombre en base N, existís lo metòde seguent:

Siá K lo nombre en basa decimala de convertir en basa N.

1. Realizar la division entièra de K per N. Siá D lo resultat d'aquesta division e R lo rèste
2. Se D >= N, recomençar a 1
3. Senon, l'escritura en base N de K es egal a la concatenacion del darrièr resultat e de totes los rèstes en començant pel darrièr.

Exemple : conversion en base exadecimala (basa setze) del nombre 3257 escrich en basa decimala

• 3257 / 16 = 203,5625 siá
• 3257 = 203 × 16 + 9
• 203 = 12 × 16 + 11

Sabent que 11 (onze) se nòta B e que 12 (dotze) se nòte C, l'escritura de 3257 (tres mila dos cent cinquanta e sept) en basa exadecimala es CB9.

Conversion capa a la basa decimala d'un nombre escrich en basa N

Per passar d'un nombre en basa N cap a un nombre en basa decimala, existís lo metòde seguent:

Siá K lo nombre en basa N de convertir. Per tot chifre c de reng r dins K, se calcula c×N ^r. La representacion de K en basa detz es la soma totes los produchs.

Le comptage de r comença a zèro de la drecha cap a l'esquèrra.

Exemple Lo nombre « 10110 » en basa binara s'escriu en basa detz:

1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 22 (basa detz)

Exemple Lo nombre « 3FA » en basa setze s'escriu en basa decimala:

3×16² + 15×16¹ + 10×16⁰ = 1 018 (basa detz)

Remembre: F en basa setze val quinze, A en basa setze val detz.