Tetraèdre

Lo tetraèdre (del grèc ancian tetra : quatre), es un polièdre compausat de quatre triangles, de la familha de las piramidas.

Cada vertèx del tetraèdre es ligat als autres per una aresta. Aquela caracteristica es rara: solament dos polièdres que la possedisson foguèron descobèrts, que lo polièdre de Császár qu'es omeomòrf al tòr, a 7 vertèxes d'òrdre 6, 14 fàcias triangularas, 21 arestas, e 1 clòt.

Lo tetraèdre regular, format de quatre triangles equilaterals, es un dels cinc polièdres regulars, o solids platonics. Es lo sol d'entre eles a aver quatre fàcias.

L'esqueleta del tetraèdre regular, l'ensemble dels vertèxes ligat per las seunas arestas, forma un graf nomenat graf tetraedric.

Un tetraèdre se ditz ortocentric quand las seunas quatre nautors son concorrentas. Lo jonhent es alara l'ortocentre del tetraèdre.

Lo tetraèdre es un simplèx de gra 3.

Volum del tetraèdre

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Bh}$

se ${\displaystyle B}$ es la superfícia d'una basa del tetraèdre e ${\displaystyle h}$ la nautor del tetraèdre se piejant sus aquela basa

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|\det({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}},{\overrightarrow {AD}})\right|}$ pel tetraèdre bastit sus A, B, C e D.

Tetraèdre regular

Se ${\displaystyle a}$ es la longor d'una aresta:

• La superfícia es egala a: ${\displaystyle A={\sqrt {3}}a^{2}}$
• La nautor es egale a: ${\displaystyle H={\sqrt {\frac {2}{3}}}a={{\sqrt {6}} \over 3}a}$
• Lo centre del tetraèdre es situat, a respècte de la basa, a: ${\displaystyle h={\tfrac {1}{4}}H}$
• Lo volum es egal a: ${\displaystyle V={\tfrac {1}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}}$
• La valor de l'angle central del tetraèdre regular (es a dire aqueles que forman totes los segments que parton del centre cap als quatre vertèxes) es de ${\displaystyle \arccos(-1/3)\,}$ (aprox. 109.471°).

Dualitat del tetraèdre regular

Lo tetraèdre es lo seu dual, es a dire qu'en jonhent los centres de las fàcias d'un tetraèdre regular, s'obten un nòu tetraèdre regular.

Lo grop de las isometrias daissant globalament invariant lo tetraèdre regular es isomòrf al grop simetric ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{4}}$. Lo grop de las isometrias positivas avent aquela meteissa proprietat es quant a el isomòrf al grop alternat ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{4}}$.

Tetraèdres de Möbius

Una curiositat que l'equivalent n'existís pas pels triangles: se pòt bastir dos tetraèdres dichs tetraèdres de Möbius tals que los vertèxes de l'un quin que siá d'entre eles appartenon als plans (respectius) de las fàcias opausada de l'autre. ^[1].

Parelh de tetraèdres de Möbius