Vector (matematicas)

En matematicas, un vector es un objècte matematic, definit per un escalar (nombre), una direccion e un sens;^[1] en d'autres termes es un segment que materializa lo desplaçament entre un punt d'inici e un punt d'arrivada. L'ensems del representants d'un vector es nomenat espaci vectorial.^[2] L'algèbra vectoriala estúdia l'esctructura d'aquel espaci.

Dins un espaci classic coma lo plan euclidian (R²), lo vector es un coble de punts que possedís una nòrma (distància), un sens e una direccion orientada (colinearitat dels representants d'un vector).^[3] En conclusion, un vector aplicat del plan es un coble (${\displaystyle P_{0}}$, ${\displaystyle {\vec {v}}}$) que possedís doas compausantas: lo punt ${\displaystyle P_{0}}$, nomenat punt d'aplicacion, e lo vector originari ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$, valent a dire lo vector director.^[4] Las concepcions analògas son valablas dins l'espaci.

En geometria euclidiana, lo vector ${\displaystyle {\vec {AB}}}$ es la translacion qu'associa lo punt A amb lo punt B. La Lei de Chasles determina l'addicion vectoriala. Los vectors son ligats per las coordenadas de punts, l'escritura de las operacions es algebrica. La vectorizacion matematica permet de simplificar divèrses teorèmas, lo teorèma generalizat d'Al-Kashi, o la configuracion de Talès.

En fisica, los vectors son plan utilizats, per modelizar las fòrças, las velocitats, un camp (magnetic, gravitacional, electric, etc.). Una grandor vectoriala s'opausa a una grandor escalara, aquesta es un nombre.

Apròchi geometric

Vectors colinears (parallèls)

Dos vectors son colinears se las dreitas que los contenon son parallèlas. Se pòt illustrar coma ${\displaystyle {\vec {u}}=k{\vec {v}}}$, amb ${\displaystyle k\in R_{0}}$.

${\displaystyle x_{u}y_{v}-x_{v}y_{u}=0}$

Vectors ortogonals (perpendiculars)

Dos vectors son perpendiculars se las dreitas que los contenon son perpendicularas.

${\displaystyle x_{u}x_{v}+y_{u}y_{v}=0}$

Produit escalar

Lo produit escalar es una operacion que met en relacion dos vectors e l'angle format entre els. Dins lo domeni de las frequéncias, lo produit escalar normat mesura la relacion de dependéncia entre doas ondas.^[5] Lo produit escalar es definit aital:

${\displaystyle x_{u}x_{v}+y_{u}y_{v}=\lVert {\vec {u}}\rVert \lVert {\vec {v}}\rVert \cos \alpha }$

L'angle que forman dos vectors ${\displaystyle {\vec {u}}}$ e ${\displaystyle {\vec {v}}}$ es notat ${\displaystyle ({\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}})}$. Dins un plan orientat, es possible de definir-lo. Non es lo cas dins l'espaci (mai de doas dimensions).