ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰ

ਰੇਖਿਕ ਬੀਜ-ਗਣਿਤ ਅੰਦਰ, ਕਿਸੇ ਫੀਲਡ F ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ V ਦਾ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਤੋਂ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਾ ਇੱਕ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰ ਜਾਂ ਲੱਛਣਾਤਮਿਕ ਵੈਕਟਰ, ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਓਸ ਵੇਲੇ ਆਪਣੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ ਜਦੋਂ ਉਹ ਰੇਖਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਇਸ ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ v ਕੋਈ ਅਜਿਹਾ ਵੈਕਟਰ ਹੋਵੇ ਜੋ ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਕਿਸੇ ਰੇਖਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨ T ਦਾ ਇੱਕ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ T(v), v ਦਾ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾਂਕ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਸ਼ਰਤ ਨੂੰ ਇਸ ਮੈਪਿੰਗ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

${\displaystyle T:\mathbf {v} \mapsto \lambda \mathbf {v} ,}$

ਜਿੱਥੇ λ, ਫੀਲਡ F ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਆਇਗਨਵੈਕਟਰ v ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਜਾਂ ਲੱਛਣਾਤਮਿਕ ਮੁੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ V ਸੀਮਰ-ਅਯਾਮੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਰੇਖਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨ T ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕੁਏਅਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ v ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਉੱਪਰ ਲਿਖੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਛੱਡ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਸਕੇਲਿੰਗ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਰਹਿਣ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .}$

ਇੱਕ n-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਤੋਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਤੱਕ ਰੇਖਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਅਤੇ n ਗੁਣਾ n ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਮੇਲਜੋਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਣ ਕਰਕੇ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਜਾਂ ਰੇਖਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲਾਂ ਅਤੇ ਆਇਗਨ-ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।^[1][2]

ਰੇਖਾ-ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਪਰਿਵਰਤ ਅਤੇ ਆਇਗਨ-ਮੁੱਲ ਰਾਹੀਂ ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵਾਸਤਵਿਕ, ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਕੋਈ ਆਇਗਨ-ਵੈਕਟਰ ਉਹ ਹਿੱਸਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦੁਆਰਾ ਇਸਨੂੰ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਆਈਗਨਮੁੱਲ ਨੈਗਟਿਵ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਦਿਸ਼ਾ ਉਲਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।^[3]