ਡੀਰਾਕ ਅਲਜਬਰਾ

ਗਣਿਤਿਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰ, ਡੀਰਾਕ ਅਲਜਬਰਾ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ Cℓ₄(C) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ Cℓ_1,3(C) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗਣਿਤਿਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਪੀ. ਏ. ਐੱਮ. ਡੀਰਾਕ ਦੁਆਰਾ 1928 ਵਿੱਚ ਡਿਰਾਕ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਾਲੇ ਸਪਿੱਨ-1/2 ਕਣਾਂ ਲਈ ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਵੇਲੇ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਜੋ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਜਨਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਗਾਮਾ ਤੱਤ ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਸਬੰਧ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ

${\displaystyle \displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }\mathbf {1} }$

ਜਿੱਥੇ

• ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\,}$, ਸਿਗਨੇਚਰ (+ − − −) ਵਾਲੇ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਦੇ ਪੁਰਜੇ ਹਨ ਅਤੇ
• ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ਅਲਜਬਰੇ ਦਾ ਪਛਾਣ ਤੱਤ ਹੈ (ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ)। ਇਹ ਕਿਸੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸਾ ਸੰਭਵ ਕਰਦਾ ਹੈ;

${\displaystyle \displaystyle \langle a,b\rangle =\sum _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }a_{\mu }b_{\nu }^{\dagger }}$

ਜਿੱਥੇ

${\displaystyle \,a=\sum _{\mu }a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$

ਅਤੇ

${\displaystyle \,b=\sum _{\nu }b_{\nu }\gamma ^{\nu }}$

ਹੋਵੇ।

ਡੀਰਾਕ ਅਤੇ ਕਲੇਇਨ-ਗੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਵਿਉਂਤਬੰਦੀ

ਗਾਮਾ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਤਮਿਕ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਕਿਸਮ:

${\displaystyle -i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +mc\psi =0\,.}$

ਅਤੇ ਕਲੇਇਨ-ਗੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ:

${\displaystyle -\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi }$

ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹੋਣ, ਅਤੇ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਹੋਵੇ ਕਿ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜੇ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਅਨੁਕੂਲਤਾ ਮੰਗ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ (ਸਬੂਤ)

ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸਦੀ ਕੰਜੂਗੇਟ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)(-i\hbar \gamma ^{\nu }\partial _{\nu }+mc)\psi =0\,.}$

ਕਲੇਇਨ-ਗੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨਾਲ ਅਨੁਕੂਲਤਾ ਦੀ ਮੰਗ ਤੁਰੰਤ ਇਸ ਵੱਲ ਲਿਜਾਂਦੀ ਹੈ:

${\displaystyle \displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$

ਜਿੱਥੇ

• ${\displaystyle \{,\}}$ ਐਂਟੀ-ਕਮਿਊਟੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
• ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\,}$ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਗਨੇਚਰ (+ − − −) ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ
• ${\displaystyle \ I_{4}\,}$, 4x4 ਯੂਨਿਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।^[1]

ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ: ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ § ਡੀਰਾਕ ਦਾ ਕੂਪ

Cℓ1,3(C) ਅਤੇ Cℓ1,3(R)

ਡੀਰਾਕ ਅਲਜਬਰਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅਲਜਬਰੇ Cℓ_1,3(R) ਦੀ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸੀਫੀਕੇਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} .}$

Cℓ_1,3(R) ਅਲਜਬਰਾ, Cℓ_1,3(C): in Cℓ_1,3(R) ਤੋਂ ਸਿਰਫ ਇਸ ਗੱਲ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਸਿਰਫ ਵਾਸਤਵਿਕ ਲੀਨੀਅਰ ਮੇਲ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਹੀ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਚੇਲੇ, ਜਿੱਥੇ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਵਿੱਚ ਲੱਗੇ ਰਹੰਦੇ ਹਨ। ਉਹ ਤਰਕ ਕਰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਇਕਾਈ ਦੀ ਹਾਜ਼ਰੀ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਸੰਭਵ (ਅਤੇ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਗਿਆਨ-ਭਰਪੂਰ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ -1 ਤੱਕ ਵਰਗ ਹੋ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਕਿਸੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿਚਲੀਆਂ ਕਈ ਮਾਤ੍ਰਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ, ਅਲਜਬਰੇ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਇਸਦੀਆਂ ਵਿਭਿੰਨ ਉੱਪ-ਸਪੇਸਾਂ ਨਾਲ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਕਾਰਣ, ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਮਹੱਤਤਾ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਚੇਲਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁੱਝ ਇਹ ਸਵਾਲ ਵੀ ਕਰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਡਿਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵਾਧੂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਇਕਾਈ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਕਿਸੇ ਫਾਇਦੇ ਦਾ ਜਾਂ ਲਾਜ਼ਮੀ ਹੈ ਵੀ ਕਿ ਨਹੀਂ।

ਸਮਕਾਲੀਨ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ, ਡੀਰਾਕ ਅਲਜਬਰਾ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਥਾਂ, ਮਿਆਰੀ ਵਾਤਾਵਰਨ, ਡਿਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਜੀਉਂਦਾ ਰੱਖਣਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।