Grupa bijekcji
typ struktury algebraicznej konstruowany z dowolnego zbioru / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Grupa bijekcji – grupa wszystkich bijekcji ustalonego zbioru z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako funkcja odwrotna).
Ten artykuł dotyczy grup bijekcji dowolnych zbiorów. Zobacz też: grupa permutacji. |
Grupy te nazywa się również grupami symetrycznymi, choć często rozumie się przez to grupy permutacji (czyli bijekcji zbiorów skończonych). Grupy bijekcji zbioru oznaczane są często[1] choć stosuje się też inne oznaczenia, np. [2], czy
Liczba elementów (tj. rząd) grupy bijekcji zbioru wynosi w przypadku skończonym zapis ten należy rozumieć jako silnię, w nieskończonym jako (na podstawie twierdzenia Cantora–Bernsteina–Schrödera).
Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę bijekcji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup bijekcji dotyczą również dowolnych grup abstrakcyjnych.
Jeśli jest zbiorem pustym, to grupa bijekcji składa się z jednego elementu, (bijekcji pustej). Gdy jest zbiorem liczb naturalnych, to grupa bijekcji jest mocy continuum, gdyż
- Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strony 35-37. ISBN 83-01-03903-5.
- Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strony 2-3.