Liczba
obiekt matematyczny służący m.in. do zliczania i mierzenia / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Liczba?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów[1] (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.
Ten artykuł dotyczy pojęcia liczby w matematyce. Zobacz też: inne znaczenia. |
|
Ten artykuł od 2021-08 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł. |
W matematyce określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite” itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą aksjomatów lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, jak zbiór, czy typy liczb prostsze od konstruowanego.
Najprostsze rodzaje liczb, jak liczby naturalne czy rzeczywiste, są w powszechnym użyciu jako oznaczenia ilości przedmiotów (np. pięć jabłek) lub mnożnika pewnej jednostki miary (np. dwa i pół metra). Zapisy liczb naturalnych są używane także jako identyfikatory, np. numery telefonów, dróg, PESEL, ISBN.
W matematyce pojęcie liczby zostało rozszerzone z poznawanych w szkole podstawowej liczb naturalnych, wymiernych i rzeczywistych na takie abstrakcje, jak liczby zespolone, p-adyczne, kwaterniony, czy sedeniony. Liczby zespolone okazały się przydatne w wielu dziedzinach od grafiki komputerowej[uwaga 1], przez elektronikę[uwaga 2], teorię płynów, aż do fizyki kwantowej[uwaga 3] i teorii względności. Kwaterniony znalazły zastosowanie w grafice trójwymiarowej do prostego obliczania obrotów w przestrzeni (zob. współrzędne jednorodne). Liczby p-adyczne znalazły zastosowanie w kryptografii.
Poniższe opisy w żadnym wypadku nie są ścisłymi definicjami. Liczby są jednak w matematyce definiowane ściśle, i definicje te są przedstawione w wydzielonym artykule. Poniżej podane są opisy tylko kilku najprostszych zbiorów liczbowych.
Liczby naturalne
- Osobny artykuł: liczby naturalne.
Najczęściej używanymi liczbami są liczby naturalne. Wśród matematyków istnieją dwie szkoły:
- Jedni uważają, że zero powinno zaliczać się do liczb naturalnych (a więc liczby naturalne to ). Takie podejście jest związane z najbardziej „naturalnym” zastosowaniem liczb naturalnych – zliczaniem elementów skończonych zbiorów. W życiu codziennym używa się liczb naturalnych głównie w tym właśnie celu, aby określić liczbę przedmiotów w jakiejś grupie. Zero odpowiada wtedy liczności zbioru pustego.
- Inni uznają, że liczby naturalne zaczynają się od jedynki. Liczba zero weszła do matematyki stosunkowo późno. Dopiero w XVII wieku zero było powszechnie rozpoznawane jako liczba w Europie[2], być może więc wydaje się „mniej naturalna” od pozostałych liczb naturalnych.
Z punktu widzenia aksjomatyki kwestia zaliczenia zera do liczb naturalnych jest czysto umowna i nie sprawia żadnych problemów pod warunkiem konsekwentnego trzymania się tej umowy podczas rozumowania.
Liczby całkowite
- Osobny artykuł: liczby całkowite.
Liczby ujemne to liczby mniejsze od zera. Dla każdej dodatniej liczby (czyli większej od zera) można wskazać liczbę do niej przeciwną, czyli liczbę ujemną leżącą na osi liczbowej w tej samej odległości od zera. Ich suma zawsze daje zero: jeśli na konto wpłynie 100 zł, to w rachunkach można ten fakt zaznaczyć jako 100, wypłatę 100 zł można wtedy oznaczać liczbą ujemną –100. Liczby naturalne zero oraz liczby przeciwne do naturalnych znane są właśnie jako liczby całkowite.
Liczby wymierne
- Osobny artykuł: liczby wymierne.
Liczby wymierne to intuicyjnie ułamki powstające przez podzielenie liczby całkowitej (zwanej licznikiem) przez liczbę całkowitą różną od zera (zwaną mianownikiem), np. Dzielenie przez zero jest operacją niewykonalną.
Ułamek dla reprezentuje wielkość otrzymaną po podzieleniu całości na równych części, a następnie wybraniu spośród nich. Dwa różne ułamki mogą reprezentować tę samą liczbę wymierną, np. Dla każdego ułamek jest równy Operację zamiany na nazywa się rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś skróceniem ułamka.
Jeśli licznik i mianownik są jednocześnie dodatnie lub jednocześnie ujemne, to reprezentowana przez ułamek liczba wymierna jest dodatnia. Jeśli licznik jest zerem, to liczba wymierna jest zerem. Jeśli licznik ma znak przeciwny do znaku mianownika, to liczba wymierna nim wyrażona jest ujemna.
Jeśli oraz to ułamek reprezentuje liczbę większą od 1. Jeśli (gdzie jest liczbą całkowitą), to ułamek reprezentuje liczbę całkowitą
Liczby wymierne są uporządkowane liniowo (każde dwie liczby wymierne są porównywalne). Jest to porządek gęsty: między dwiema różnymi liczbami można zawsze znaleźć inną liczbę (a nawet nieskończenie wiele liczb).
Liczby rzeczywiste
- Osobny artykuł: liczby rzeczywiste.
Już starożytni pitagorejczycy odkryli, że istnieją liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka (takie jak np. czyli długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym), a więc nie są liczbami wymiernymi. Pitagorejczycy czcili liczby jako doskonałość i to odkrycie było dla nich szokiem. Fakt istnienia liczb niewymiernych był ich najgłębiej skrywaną tajemnicą[uwaga 4][3].
Liczby rzeczywiste to liczby wymierne oraz liczby niewymierne znajdujące się pomiędzy liczbami wymiernymi, lecz nie dające wyrazić się w postaci ułamka, takie jak czy π. Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada punkt na prostej (tzw. oś liczbowa).
Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb wymiernych i liczby wymierne są gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.
Liczby zespolone
- Osobny artykuł: liczby zespolone.
Liczby urojone to liczby, których kwadraty są niedodatnimi liczbami rzeczywistymi. W szczególności jedną z nich jest tzw. jednostka urojona dla której Żadna liczba urojona oprócz zera nie jest równocześnie liczbą rzeczywistą.
Liczby zespolone to liczby powstające przez zsumowanie liczby rzeczywistej i liczby urojonej, np. W szczególności liczby rzeczywiste oraz liczby urojone także są liczbami zespolonymi (np. ). Każdej liczbie zespolonej odpowiada punkt na płaszczyźnie (tzw. płaszczyzna zespolona), a dodawanie i mnożenie są interpretowane geometrycznie.
Liczby zespolone są szczególnymi przypadkami kwaternionów, tessarinów i kokwaternionów dla i
Liczby algebraiczne
- Osobny artykuł: liczby algebraiczne.
Liczba algebraiczna to taka liczba zespolona, która podstawiona do jakiegoś wielomianu o wymiernych współczynnikach (np. ) da w wyniku zero. W szczególności każda liczba wymierna jest algebraiczna, bo jest pierwiastkiem wielomianu
Liczby przestępne
- Osobny artykuł: liczba przestępna.
Liczby przestępne to liczby zespolone niebędące algebraicznymi. Słynnymi przykładami liczb przestępnych są π oraz e.
Liczby dualne
- Osobny artykuł: liczby dualne.
Nilpotent to taki element, że
Liczby dualne powstają analogicznie do liczb zespolonych poprzez zsumowanie części rzeczywistej i wielokrotności nilpotenta. Mają one postać gdzie i to liczby rzeczywiste.
Liczby podwójne
- Osobny artykuł: liczby podwójne.
Przy konstrukcji liczb podwójnych używa się jednostki niebędącej liczbą rzeczywistą. Różni się ona od jednostki urojonej w tym, że
Liczby podwójne powstają poprzez zsumowanie części rzeczywistej i wielokrotności jednostki Mają one postać gdzie i to liczby rzeczywiste.
Liczby rzeczywiste są szczególnymi przypadkami liczb podwójnych, dla Liczby podwójne są natomiast szczególnymi przypadkami tessarinów i kokwaternionów (ale nie kwaternionów).
W matematyce powszechnie przyjęte są pewne oznaczenia zbiorów liczbowych. W polskich gimnazjach i szkołach średnich korzysta się z symboli nawiązujących do polskich nazw zbiorów, jednak w szkołach wyższych i środowisku naukowym (a także tym i pozostałych artykułach Wikipedii) korzysta się z oznaczeń międzynarodowych.
Zbiór | Oznaczenie „szkolne” | Oznaczenie standardowe | Uwagi |
---|---|---|---|
Liczby naturalne bez zera | czasem | rzadziej używane oznaczenia: | |
Liczby naturalne z zerem | czasem | czasem | w teorii mnogości |
Liczby całkowite | od niem. Zahlen – liczby | ||
Liczby wymierne | od niem. Quotient – iloraz[4] | ||
Liczby niewymierne | czasem | ||
Liczby rzeczywiste | od ang. real numbers | ||
Liczby algebraiczne | czasem | ||
Liczby zespolone | od ang. complex numbers | ||
Kwaterniony | od ang. Hamilton numbers – liczby Hamiltona | ||
Oktoniony | znane również jako oktawy Cayleya | ||
Sedeniony | |||
Liczby p-adyczne |