Otoczenie (matematyka) - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Otoczenie (matematyka).

Otoczenie (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

 Zobacz też: Kula.

Otoczenie punktu – dowolny zbiór, który zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt.

Definicja otoczenia punktu

Zbiór 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 na płaszczyźnie jest otoczeniem punktu 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 jeżeli istnieje koło (bez brzegu) zawierające 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 i zawarte w 
  
    
      
        V
        .
      
    
    {\displaystyle V.}
Zbiór na płaszczyźnie jest otoczeniem punktu jeżeli istnieje koło (bez brzegu) zawierające i zawarte w

Niech będzie elementem przestrzeni topologicznej Zbiór jest otoczeniem punktu gdy istnieje zbiór otwarty dla którego

Innymi słowy, zbiór jest otoczeniem punktu jeśli gdzie oznacza wnętrze zbioru [1].

Uwaga 1: Otoczenie punktu nie musi być zbiorem otwartym – wystarczy, że zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym itd. Otoczenia takie nazywamy odpowiednio otoczeniem otwartym, domkniętym, zwartym itp.

Uwaga 2: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy z nich za otoczenia punktu przyjmują wyłącznie zbiory otwarte zawierające dany punkt[2]. W stosowanej tu terminologii otoczenia takie nazywamy otoczeniami otwartymi.

Definicja otoczenia zbioru

Niech jest podzbiorem Otoczeniem zbioru jest zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru

Inaczej mówiąc suma otoczeń wszystkich punktów zbioru jest jego otoczeniem.

Otoczenia w przestrzeniach metrycznych

W przestrzeni metrycznej z metryką otoczenie punktu można określić za pomocą kul otwartych.

Definicja otoczenia punktu

jest otoczeniem punktu jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie i promieniu tj.

która jest zawarta w zbiorze

Definicja otoczenia jednostajnego zbioru

Zbiór 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 na płaszczyźnie i jednostajne otoczenie 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 zbioru 
  
    
      
        S
        .
      
    
    {\displaystyle S.}
Zbiór na płaszczyźnie i jednostajne otoczenie zbioru

Otoczeniem jednostajnym zbioru w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór o tej własności, że istnieje taka liczba że dla każdego kula otwarta o środku w punkcie i promieniu tj.

jest zawarta w zbiorze

Innymi słowy, zbiór jest sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru

System otoczeń a topologia

Jeżeli dla każdego punktu zbioru dana jest pewna rodzina podzbiorów zbioru spełniająca warunki:

  1. dla każdego mamy, że
  2. dla dowolnego istnieje takie że dla wszelkich

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze zbiór otwarty definiuje się jako zbiór, który wraz z każdym swoim punktem zawiera również pewien zbiór z rodziny

Otoczenie jako pojęcie pierwotne aksjomatyki

Pierwsza aksjomatyka przestrzeni topologicznej, podana przez Hausdorffa, była oparta na pojęciu otoczenia.

Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę złożoną ze zbioru oraz rodziny

zbiorów których elementami są podzbiory (zwane otoczeniami elementu ) zbioru spełniające następujące aksjomaty:

  1. Każde otoczenie zawiera oraz zbiór jest otoczeniem każdego swojego punktu.
  2. Każdy zbiór zawierający jakieś otoczenie jest także otoczeniem
  3. Przecięcie dowolnej pary otoczeń jest także otoczeniem
  4. W każdym otoczeniu zawarte jest takie otoczenie które jest zarazem otoczeniem każdego swojego punktu[3].

Otoczenie a sąsiedztwo

W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia sąsiedztwa punktu, które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem jeżeli jest otoczeniem punktu to zbiór

jest sąsiedztwem punktu

Przykłady otoczeń otwartych

  • Na prostej rzeczywistej z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu jest np. dowolny przedział otwarty zawierający ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), tj. Sąsiedztwem punktu jest ten przedział bez punktu tj.
  • Na płaszczyźnie euklidesowej otoczeniem otwartym punktu jest np. dowolne koło bez brzegu zawierające ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), zaś jego sąsiedztwem jest to koło bez tego punktu.
  • W przestrzeni euklidesowej otoczeniem otwartym punktu jest np. dowolna kula bez brzegu zawierająca ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku kuli), zaś jego sąsiedztwem jest kula bez tego punktu.

Przypisy

  1. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962, s. 109.
  2. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, s. 73.
  3. Klaus Jänich: Topologia (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1991, s. 14, 15.
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Otoczenie (matematyka)
Listen to this article