Przestrzeń liniowa
typ struktury algebraicznej / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Przestrzeń liniowa?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Przestrzeń liniowa, przestrzeń wektorowa – rodzaj struktury algebraicznej złożonej z dwóch zbiorów oraz dwóch działań: wewnętrznego i zewnętrznego. Elementy tych zbiorów są nazywane wektorami i skalarami, a działania to dodawanie wektorów i skalowanie ich, czyli mnożenie przez skalary[1]. Działania te muszą przy tym spełniać pewne aksjomaty, wymienione niżej (patrz Definicja). Formalnie przestrzeń liniowa to krotka opisująca moduł nad ciałem, zwykle liczbowym, przez co jest to rodzaj grupy przemiennej wzbogaconej o dodatkowy zbiór skalarów i działanie mnożenia przez te elementy. Przestrzenie wektorowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej, definiujący tę dziedzinę.
Struktura ta jest dalekim uogólnieniem przestrzeni euklidesowych lub ściślej: kartezjańskich, znanych z geometrii; właściwości wektorów dwu- i trójwymiarowych stanowią intuicyjny model bardziej abstrakcyjnych odpowiedników. Aksjomatyczną definicję przestrzeni wektorowej spełniają nie tylko skończone ciągi liczb rzeczywistych, ale też odpowiadające im wielomiany ustalonego stopnia o współczynnikach rzeczywistych, macierze ustalonego wymiaru, ciągi nieskończone, funkcje rzeczywiste, operatory różniczkowe i inne obiekty, w tym różne zbiory liczbowe.
- Osobny artykuł: przykłady przestrzeni liniowych.
Przestrzenie liniowe są przez to wspólnym językiem różnych dziedzin matematyki jak teoria liczb, geometria, algebra i analiza; są m.in. fundamentem analizy funkcjonalnej, a przez to narzędziem XX-wiecznej teorii równań różniczkowych, rachunku wariacyjnego, analizy harmonicznej i fizyki matematycznej. Znajdują zastosowanie w różnych naukach ścisłych i technicznych, w tym mechanice kwantowej i kryptologii. Sformalizowano je na przełomie XIX i XX wieku, w czym mieli udział Hermann Grassmann, Giuseppe Peano, Hermann Weyl i inni[2].
Niech będzie ciałem (np. ciałem liczb rzeczywistych lub liczb zespolonych ).
Ciało to nazywa się ciałem skalarów, elementy ciała nazywa się skalarami.
Definicja:
Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem nazywa się zbiór z określonymi w nim dwoma działaniami dwuargumentowymi:
(1) dodawanie wektorów: działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru na zbiór które dowolnym wektorom przyporządkowuje pewien wektor nazywany sumą wektorów co symbolicznie zapisuje się w postaci
(2) mnożenie przez skalar: działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru i ciała które dowolnemu wektorowi i dowolnej liczbie przyporządkowuje pewien wektor co symbolicznie zapisuje się w postaci
przy czym działania te spełniają poniższe aksjomaty:
- Dodawanie wektorów jest łączne, tj. dla dowolnych jest
- Dodawanie wektorów jest przemienne, tj. dla dowolnych jest
- Dodawanie wektorów ma element neutralny, tj. istnieje taki element nazywany wektorem zerowym, że dla dowolnego jest
- Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne, tj. dla każdego istnieje element nazywany wektorem przeciwnym do taki że
- Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów, tj. dla każdego oraz jest
- Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów:, tj. dla każdych oraz zachodzi
- Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów, tj. dla dowolnych oraz jest
- Jeśli 1 jest jedynką ciała to dla dowolnego
Uwaga:
Pierwsze cztery warunki czynią z wektorów grupę abelową ze względu na dodawanie, kolejne dwa są prawami rozdzielności.
Def. Przestrzenią liniową rzeczywistą nazywa się przestrzeń liniową określoną nad ciałem liczb rzeczywistych,
Def. Przestrzenią liniową zespoloną nazywa się przestrzeń liniową określoną nad ciałem liczb zespolonych
(1) Formalnie przestrzeń liniowa nad ciałem jest strukturą matematyczną w której:
- jest grupą abelową (aksjomaty 1–4),
- jest ciałem,
wyposażoną w działanie (wyżej nieoznaczane) spełniające aksjomaty 5–8.
Wyżej przedstawione aksjomaty stanowią definicję modułu (nad pierścieniem ). W ten sposób przestrzeń liniową można zwięźle zdefiniować jako moduł nad ciałem (gdyż każde ciało jest pierścieniem; co więcej, wspomniany moduł jest wolny).
(2) Siódmy aksjomat nie opisuje łączności, gdyż obecne są w nim dwa różne działania: mnożenie przez skalar, oraz mnożenie skalarów (z ciała),
(3) Niektóre źródła zawierają również dodatkowe dwa aksjomaty domkniętości:
Ten artykuł należy dopracować |
- Przestrzeń jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,
- jeżeli to
- Przestrzeń jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar,
- jeżeli to
Jednak zwykle działanie definiuje się jako odwzorowanie o przeciwdziedzinie co pociąga za sobą powyższe stwierdzenia i eliminuje potrzebę ich dodawania jako niezależnych aksjomatów.
(4) Aksjomaty domkniętości są zaś niezbędne do określenia, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej podprzestrzenią.
(5) Wyrażenia postaci „”, gdzie oraz ściśle rzecz ujmując, są nieokreślone. Jednakże z powodu przemienności w ciele skalarów wyrażenia „” oraz „” traktuje się jako tożsame. Jeżeli przestrzeń liniowa jest algebrą nad ciałem to dla oraz zachodzi co usprawiedliwia traktowanie wyrażeń „” i „” jako reprezentacji tego samego wektora.
(6) Symbol pomija się często dla działania mnożenia w ciele, rezerwując go dla iloczynu skalarnego lub rezygnuje się z niego całkowicie, gdyż rodzaj mnożenia można zwykle jednoznacznie określić na podstawie rodzaju czynników.
Następujące twierdzenia można wyprowadzić wprost z aksjomatów przestrzeni liniowych:
Tw. 1: Wektor zerowy jest wyznaczony jednoznacznie, tj. jeżeli
- oraz
- to:
Tw. 2: Mnożenie wektora zerowego przez skalar daje wektor zerowy, tj. dla dowolnego jest:
Tw. 3: Mnożenie skalarne wektora przez zero daje wektor zerowy, tj. dla każdego zachodzi
gdzie – element neutralny dodawania w
Tw. 4: Żadne inne mnożenie przez skalar nie daje zera, tj.
- wtedy i tylko wtedy, gdy
- lub
Tw. 5: Wektor odwrotny względem dodawania do jest wyznaczony jednoznacznie, tzn. jeżeli
- są odwrotnościami takimi, że
- oraz
- to
Wektor nazywa się wektorem przeciwnym do
Definicja (różnicy wektorów):
- Różnicą wektora i wektora nazywa się wektor, który jest sumę wektora i wektora przeciwnego do wektora tj.
Tw. 6: Mnożenie skalarne przez jednostkę ujemną daje wektor przeciwny, tj. dla każdego mamy
gdzie oznacza element odwrotny względem mnożenia w
Tw. 7: Ujemność jest całkowicie przemienna, tj. dla każdego oraz zachodzi
Definicja powłoki liniowej
- Część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierających dany zbiór wektorów nazywa się jego powłoką (liniową) lub otoczką (liniową).
Definicja rozpinania przestrzeni przez zbiór wektorów
- Mówi się, że dany zbiór wektorów rozpina przestrzeń liniową, jeżeli wszystkie inne wektory tej przestrzeni można otrzymać w wyniku dodawania i mnożenia przez skalar wektorów tego zbioru.
Definicja liniowej niezależności wektorów
- Jeżeli spośród wektorów rozpinających daną przestrzeń usunięcie któregokolwiek z nich powodowałoby, że z pozostałych nie dałoby się rozpiąć tej podprzestrzeni, to mówi się, że zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
Definicja bazy przestrzeni liniowej
- Bazą przestrzeni nazywa się liniowo niezależny zbiór wektorów który rozpina przestrzeń
Twierdzenie o istnieniu bazy
- Każda przestrzeń liniowa ma bazę.
Dowód:
Niech będzie rodziną liniowo niezależnych podzbiorów zbioru Rodzina ta jest uporządkowana relację inkluzji. Na mocy twierdzenia Hausdorffa w rodzinie istnieje nieprzedłużalny łańcuch Suma tego łańcucha jest zbiorem liniowo niezależnym. Gdyby nie była bazą, istniałby wektor dla którego byłby liniowo niezależny. Wtedy jednak byłby właściwym przedłużeniem łańcucha co przeczyłoby jego maksymalności.
Twierdzenie o równoliczności baz
- Wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne.
Dowód: Wynika to ze słabszego od aksjomatu wyboru lematu o istnieniu ultrafiltrów w algebrach Boole’a (BPI).
Definicja wymiaru przestrzeni liniowej
- Jeśli jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni
Wymiar przestrzeni oznacza się symbolem
Np. Wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej czyli wynosi trzy, gdyż każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru [uwaga 1].
Uwaga:
Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie można wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.
Twierdzenie Andreasa Blassa (1984 r.)
- Istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z aksjomatem wyboru[3].