Algebra (ogólna) czasem: algebra uniwersalna lub abstrakcyjna – to ciąg postaci
gdzie:
- – pewien zbiór,
- – pewne wyróżnione elementy,
- – pewne funkcje, które interpretuje się jako -argumentowe działania w
Przykładami algebr są grupa addytywna
grupa multiplikatywna
oraz pierścień
Algebra ogólna jest przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną)[1][2].
Szczególnie ważną klasę algebr stanowią algebry równościowo definiowalne[3].
Algebrą (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci[4] :
gdzie:
- jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry),
- są pewnymi elementami zbioru (nazywanymi elementami wyróżnionymi),
- są działaniami określonymi w zbiorze przy czym jest działaniem -argumentowym, tzn. jest funkcją postaci oraz
Zwykle żąda się aby elementy wyróżnione i działania spełniały pewne własności.
Dwie algebry:
i
nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu) jeśli oraz oraz dla każdego działania oraz są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn. oraz [4] .
Niech będzie relacją równoważności w zbiorze -argumentowe działanie w nazywa się zgodnym z relacją jeśli dla każdych
- [4] .
W szczególności gdy jest działaniem jednoargumentowym oznacza to, że dla każdych
a gdy jest działaniem dwuargumentowym, to
Innymi słowy działanie w zbiorze jest zgodne z relacją jeśli daje równoważne wyniki na równoważnych argumentach.
Relację równoważności w algebrze nazywa się kongruencją jeżeli dla każdego działanie jest zgodne z relacją [4] .
Dysponując kongruencją na algebrze można skonstruować algebrę podobną do Niech będzie zbiorem ilorazowym. Algebrę definiujemy jako
gdzie elementy wyróżnione są skonstruowane jako klasy abstrakcji elementów względem relacji tzn.
a działania są zdefiniowane wzorami[4] :
Aby działania były dobrze zdefiniowane muszą nie zależeć od wyboru reprezentantów Jest to równoważne żądaniu aby dla każdych
co z kolei jest równoważne żądaniu aby relacja była kongruencją.
Homomorfizmem algebr podobnych i nazywa się funkcję taką, że
dla W szczególności, gdy są działaniami dwuargumentowymi oznacza to
W algebrze uniwersalnej stosuje się bardziej abstrakcyjną definicję algebry. Niech będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym są symbolami działań -argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi -argumentowego działania Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole z działaniami
Algebrę można zdefiniować jeszcze inaczej. Parę gdzie jest zbiorem, a nazywa się typem algebry. Parę nazywa się algebrą typu jeśli zbiory i są równoliczne i każdemu odpowiada taki, że Element nazywa się działaniem lub operacją -argumentową.
Grupa abelowa
Grupę w której działanie jest przemienne, tzn. dla każdych zachodzi
nazywa się grupą przemienną lub abelową.
Grupa addytywna i multiplikatywna
Grupę w której działanie interpretuje się jako dodawanie oznacza się i nazywa się grupą addytywną, a grupę w której działanie interpretuje się jako mnożenie oznacza się i nazywa grupą multiplikatywną.
Pierścień (łączny)
Algebrę nazywa się pierścieniem (łącznym) jeśli
- jest grupą przemienną,
- jest półgrupą,
ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, tzn. dla każdych
А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11.
Л.А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983, s. 31, 32.
Algebrom tym poświęcone są: rozdz. XIV, § 7 w książce: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968 oraz § 5.5 w książce: Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
- General algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].