Algorytm Hirvonena

Algorytm Hirvonena – algorytm służący do transformacji współrzędnych ortokartezjańskich (prostokątnych) x, y, z na współrzędne geodezyjne B, L, h. Jest to proces iteracyjny. W wyniku 3-4-krotnego powtarzania procedury można przeliczyć współrzędne na poziomie dokładności 1 cm.

Współrzędne geodezyjne i kartezjańskie

Obliczenia

wychodzimy ze wzorów na x,y,z:

${\displaystyle X=(N+h)\cos B\cos L,}$

${\displaystyle Y=(N+h)\cos B\sin L,}$

${\displaystyle Z=[N(1-e^{2})+h]\sin B.}$

Długość geodezyjna L

${\displaystyle {\frac {Y}{X}}={\frac {(N+h)\cos B\sin L}{(N+h)\cos B\cos L}}={\text{tg }}L,}$

${\displaystyle L={\text{arctg }}{\frac {Y}{X}}.}$

Szerokość geodezyjna B

${\displaystyle {\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}={\frac {[N(1-e^{2})+h]\sin B}{(N+H)\cos B}}={\frac {N+Ne^{2}+h}{N+h}}{\text{tg }}B=\left({\frac {N+h}{N+h}}-{\frac {Ne^{2}}{N+h}}\right){\text{tg }}B,}$

${\displaystyle {\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}=\left(1-e^{2}{\frac {N}{N+h}}\right){\text{tg }}B,}$

${\displaystyle {\text{tg }}B={\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}\left(1-e^{2}{\frac {N}{N+h}}\right)^{-1}.}$

Ostatecznie:

${\displaystyle {\text{tg }}B_{(k+1)}={\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}\left(1-e^{2}{\frac {N_{k}}{N_{k}+h_{k}}}\right)^{-1}}$

przy czym:

${\displaystyle {\text{tg }}B^{(k=0)}={\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}(1-e^{2})^{-1}.}$

Wysokość elipsoidalna (h)

${\displaystyle {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}=(N+h)\cos B,}$

${\displaystyle {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\cos B=N+h,}$

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}{\cos B}}-N.}$

Algorytm

• obliczenie długości geodezyjnej L,
• obliczenie szerokości geodezyjnej, B dla k = 0,
• Na podstawie tego B₀ liczymy N₀ i h₀. Następnie mając dane N₀ i h₀ liczymy na ich podstawie B₁. Na podstawie B₁ liczymy N₁ i h₁ itd. Zazwyczaj wystarczają 3 iteracje. Proces jest powtarzany do uzyskania zadowalającej dokładności.