Alternatywa

Alternatywa, suma logiczna, alternatywa zwykła^[a], alternatywa nierozłączna^[a], alternatywa łączna^[a] – zdanie logiczne o postaci p lub q, gdzie p, q są zdaniami. W logice matematycznej alternatywę zapisuje się ${\displaystyle p\,\lor \,q.}$ Alternatywa p lub q jest zdaniem prawdziwym, gdy co najmniej jedno z jej zdań składowych p, q jest prawdziwe.

W logice matematycznej

Alternatywa (suma logiczna):

1. Działanie dwuargumentowe określone w dowolnym zbiorze zdań bądź w zbiorze funkcji zdaniowych, które zdaniom (funkcjom zdaniowym) ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ przypisuje zdanie (funkcję zdaniową) prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest przynajmniej jedno ze zdań (funkcji) ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q.}$
2. Dwuargumentowy spójnik zdaniowy, oznaczany ${\displaystyle p\,\lor \,q}$ (łac. ${\displaystyle p{\mbox{ vel }}q}$) o znaczeniu odpowiadającemu wyżej zdefiniowanemu działaniu określonemu w zbiorze ${\displaystyle A\ni p,q.}$ Od poprzedniej definicji różni się tym, że jest definiowany na poziomie syntaktycznym, dzięki czemu unika się określania jego dziedziny.
3. Zdanie logiczne postaci ${\displaystyle p\,\lor \,q,}$ gdzie ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ są zdaniami.

Dwa symbole bramki logicznej OR (sumy logicznej)

Alternatywa pozostaje w ścisłym związku z dodawaniem zbiorów (patrz algebra zbiorów). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań przy użyciu alternatywy jest też nazywane sumą logiczną^[1]. Zdania składowe ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle q}$ nazywane są składnikami alternatywy^[2].

Alternatywa jest prawdziwa, jeżeli co najmniej jeden z jej składników jest prawdziwy^[2][3]. W przeciwnym razie alternatywa zdań jest fałszywa.

Tablica prawdy dla alternatywy

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\vee q}$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

gdzie: 1 – zdanie prawdziwe; 0 – zdanie fałszywe

Notacja

Zestawienie symboli alternatywy, stosowanych przez różnych autorów^[4][5]:

	Schröder Peirce	Peano, Russell Hilbert	Łukasiewicz
Alternatywa	${\displaystyle p+q}$	${\displaystyle p\lor q}$	${\displaystyle Apq}$

W językach programowania dla oznaczenia alternatywy używany jest często angielski spójnik OR. W języku C/C++ i pochodnych oznacza się ją przez „||”.

Przykłady

• Alternatywa zdań: 12 dzieli się przez 3 lub Madryt jest stolicą Hiszpanii jest prawdziwa, bo oba jej zdania składowe są prawdziwe.
• Alternatywa zdań: ${\displaystyle 10>12{\mbox{ lub }}10<11}$ jest prawdziwa, bo jeden z jej składników jest prawdziwy (prawdą jest, że 10 jest liczbą mniejszą niż 11).
• Alternatywa zdań: Kraków leży nad Odrą lub Wisła nie płynie w Polsce jest fałszywa, bo oba jej zdania składowe są fałszywe.

Własności

Alternatywa charakteryzuje się następującymi cechami:

• przemienność

${\displaystyle p\,\lor \,q=q\,\lor \,p}$^[6][7]

• łączność

${\displaystyle p\,\lor \,(q\,\lor \,r)=(p\,\lor \,q)\,\lor \,r}$^[6][7]

• idempotentność

${\displaystyle p\,\lor \,p\,\Leftrightarrow \,p}$^[8]

• rozdzielność względem koniunkcji (i odwrotnie)

${\displaystyle p\,\land \,(q\,\lor \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\land \,q)\,\lor \,(p\,\land \,r)}$

${\displaystyle p\,\lor \,(q\,\land \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\lor \,q)\,\land \,(p\,\lor \,r)}$^[6][7]

• prawa De Morgana

${\displaystyle \neg \,(p\,\lor \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\land \,\neg \,q)}$

${\displaystyle \neg \,(p\,\land \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\lor \,\neg \,q)}$^[9]

Negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji, natomiast negacja koniunkcji – alternatywie negacji^[10].

W języku naturalnym

Bardziej znane jest potoczne znaczenie słowa „alternatywa”: wybór z dwóch wykluczających się możliwości^{[11] [12] [13]} . Pokrywa się ono z matematycznym pojęciem alternatywy rozłącznej, a nie klasycznej alternatywy przedstawianej w logice matematycznej.

Zobacz też

Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceum – Logika

Zobacz podręcznik w Wikibooks: Logika dla prawników – Alternatywa

Zobacz hasła OR i alternatywa w Wikisłowniku

• decyzja
• koniunkcja

Uwagi

1. Taka nazwa jest niekiedy stosowana dla odróżnienia od alternatywy rozłącznej.