Aproksymacja średniokwadratowa

Aproksymacja średniokwadratowa – aproksymacja, której celem jest minimalizacja błędu na przedziale ${\displaystyle [a,b].}$ Istotność błędu w poszczególnych punktach mierzy się za pomocą funkcji wagowej ${\displaystyle w(x).}$ Jeśli funkcję ${\displaystyle f(x)}$ próbuje się przybliżać za pomocą ${\displaystyle \varphi (x),}$ to minimalizuje się błąd:

${\displaystyle E=\int \limits _{a}^{b}w(x)[\varphi (x)-f(x)]^{2}\;dx.}$

(a)

Ze względów praktycznych stosuje się inną definicję błędu, umożliwiającą prostszą jego minimalizację

${\displaystyle R=\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]^{2}}$

(b)

zwłaszcza wtedy, gdy przyjmie się dodatkowo

${\displaystyle \varphi (x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\,...\,+a_{m}x^{m}=\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i},\quad m<n.}$

(c)

Warunek stacjonarności funkcji ${\displaystyle R(a_{0},\,a_{1},\,...\,a_{m})}$ przybiera postać

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {\partial R}{\partial a_{k}}}&={\tfrac {\partial }{\partial a_{k}}}\left\{\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]^{2}\right\}\\&=2\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]{\tfrac {\partial }{\partial a_{k}}}\varphi (x_{i})\\&=\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]x_{i}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{n}\left\{[x_{i}^{k}\;\;x_{i}^{k+1}\;\;...\;\;x_{i}^{k+m}]\mathbf {a} -f_{i}x_{i}^{k}\right\}\\&=0,\qquad k=0,\,1,\,...\,m,\end{aligned}}}$

(d)

gdzie ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{0},\,a_{1},\,...\,a_{m})^{T}.}$

Zobacz też

• aproksymacja trygonometryczna
• aproksymacja wielomianowa
• aproksymacja za pomocą funkcji sklejanych
• aproksymacja za pomocą wielomianów ortogonalnych
• szybka transformacja Fouriera
• aproksymacja jednostajna
• funkcja sklejana
• funkcje ortogonalne
• funkcje ortonormalne
• ortogonalizacja Grama-Schmidta
• wielomiany ortogonalne