Całka splotowa

Całka splotowa – obok transmitancji operatorowej, jedna z postaci opisu typu wejście-wyjście mająca cechę jednoznaczności dla danego układu regulacji (członu, elementu)^[1].

Wstęp

Opis układu sterowania całką splotową wynika z właściwości przekształcenia Laplace’a. Tak zwany iloczyn splotowy, czyli całka splotowa

${\displaystyle y(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }u(\tau )g(t-\tau )\,d\tau =\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\tau )u(t-\tau )\,d\tau }$

jest w dziedzinie czasu odpowiednikiem iloczynu transformat:

${\displaystyle U(s)G(s)=Y(s)}$

Zmienna ${\displaystyle \tau }$ jest zmienną całkowania. Podobnie jak w przypadku opisu w wykorzystaniem transmitancji wymagane jest przeprowadzenie pewnej operacji nad funkcją ${\displaystyle g(t),}$ która charakteryzuje układ i funkcją ${\displaystyle u(t),}$ która reprezentuje wymuszenie; operacja ta ma miejsce całkowicie w dziedzinie czasu.

W praktyce całkę splotową oblicza się w granicach skończonych, gdyż wymuszenie ${\displaystyle u(t)}$ ma sens tylko dla ${\displaystyle t\geqslant 0,}$ zaś przy ${\displaystyle u(t)=0}$ dla ${\displaystyle t<0}$ także charakterystyka impulsowa ${\displaystyle g(t)}$ jest równa ${\displaystyle 0}$ dla ${\displaystyle t<0,}$ jeśli system jest przyczynowy (tzn. nie wykazuje reakcji nim nie nastąpi jego pobudzenie).

Tak więc ${\displaystyle u(\tau )=0}$ dla ${\displaystyle \tau <0}$ oraz ${\displaystyle g(t-\tau )=0}$ dla ${\displaystyle \tau >t,}$ a stąd praktyczne granice całkowania:

${\displaystyle y(t)=\int \limits _{0}^{t}u(\tau )g(t-\tau )\,d\tau =\int \limits _{0}^{t}g(\tau )u(t-\tau )\,d\tau .}$

Zestawienie opisów układu w różnych przypadkach

Istnieją ogólne zewnętrzne opisy układów regulacji. W przypadkach układów niestacjonarnych opis jest znany jako opis za pomocą splotu. Niech: ${\displaystyle y}$ będzie wyjściem układu, ${\displaystyle h}$ – odpowiedzią układu, ${\displaystyle x}$ – wejściem układu, wówczas:

Opis ogólny
układ stacjonarny, nieprzyczynowy	${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-r)x(r)\,dr}$
układ stacjonarny, przyczynowy	${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{t}h(t-r)x(r)\,dr}$
układ niestacjonarny, nieprzyczynowy	${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,r)x(r)\,dr}$
układ niestacjonarny, przyczynowy	${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{t}h(t,r)x(r)\,dr}$

Uogólnienie na układy wielowymiarowe

Dla układu wielowymiarowego opisanego równaniami stanu, w których ${\displaystyle t_{0}=\mathbf {C} ,}$ a równanie wyjścia dane jest następująco: ${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)}$ odpowiedź na wymuszenie dane jest wzorem:

${\displaystyle \mathbf {y} _{\delta }(t)=\int _{0}^{t}{\mathbf {K} (t-\tau )\mathbf {u} (\tau )\,d\tau },}$

gdzie macierz odpowiedzi impulsowych

${\displaystyle \mathbf {K} (t)=\mathbf {C} e^{\mathbf {A} t}\mathbf {B} .}$

Powyższy wzór na wymuszenie układu wielowymiarowego stanowi uogólnienie całki splotowej i może też być zapisany jako:

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {K} \mathbf {u} .}$

Zobacz też

• splot (analiza matematyczna)