Cząstka swobodna

W nierelatywistycznej mechanice kwantowej cząstkę swobodną opisuje czasowe równanie Schrödingera

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi ({\vec {x}},t)+U(x)\psi ({\vec {x}},t)=\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi ({\vec {x}},t)}{\partial t}}}$

z potencjałem ${\displaystyle U(x)=0}$ (na cząstkę nie działa żadna siła). Rozwiązaniem tego równania jest kombinacja liniowa fal płaskich (paczką falową)

${\displaystyle \psi ({\vec {x}},t)=\sum _{i}c_{k}\exp(\mathrm {i} {\vec {k}}_{i}{\vec {x}}-\mathrm {i} \omega _{i}t),}$

gdzie ${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$ jest pędem cząstki, ${\displaystyle {\vec {k}}={\vec {e}}k}$ ${\displaystyle ({\vec {e}}\cdot {\vec {e}}=1)}$ a ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ jest wektorem falowym skierowanym wzdłuż wektora jednostkowego ${\displaystyle {\vec {e}}}$ dla fali monochromatycznej o długości ${\displaystyle \lambda .}$ Energia takiej fali jest równa:

${\displaystyle E_{i}={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}_{i}^{2}}{2m}}=\hbar \omega _{i}.}$

Równanie to opisuje zależność dyspersyjną energii od wektora falowego, zależność ta określa prędkość grupową paczki falowej:

${\displaystyle v_{\mathrm {gi} }={\frac {\partial \omega _{i}}{\partial k_{i}}}.}$

Dla cząstki nierelatywistycznej otrzymujemy:

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {g} }={\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}={\frac {\vec {p}}{m}},}$

podobnie jak w mechanice klasycznej.