Diagram (teoria kategorii)

Diagram – teoriokategoryjny odpowiednik rodziny indeksowanej zbiorów z teorii mnogości; zasadniczą różnicą jest dodatkowa obecność morfizmów obok obiektów. Wykorzystuje się je w definicjach granicy i kogranicy oraz stożków. Szczególnym rodzajem diagramu jest tzw. diagram przemienny pełniący rolę analogiczną do równania w algebrze. Przykładami diagramów, obok wspomnianej rodziny indeksowanej, są m.in. układ prosty i odwrotny.

Definicja

Diagramem w kategorii ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ nazywa się dowolny funktor ${\displaystyle F\colon {\mathcal {I}}\to {\mathcal {C}}}$ pewnej kategorii ${\displaystyle {\mathcal {I}},}$ nazywaną kategorią indeksującą bądź schematem diagramu ${\displaystyle F}$ (przy czym nie ma znaczenia natura jej obiektów, lecz tylko jej „kształt”; dlatego zwykle ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ jest kategorię wolną generowaną przez pewien graf). Częstokroć ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ jest kategorią małą lub nawet skończoną: diagram nazywa się wtedy odpowiednio małym lub skończonym.