Dodawanie macierzy

Dodawanie macierzy – działanie dwuargumentowe w zbiorze macierzy ${\displaystyle M_{m\times n}}$ o ustalonych wymiarach ${\displaystyle m\times n,}$ które elementowi o współrzędnych ${\displaystyle i,j}$ wynikowej macierzy ${\displaystyle C}$ przypisuje sumę elementów macierzy ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ o tych samych współrzędnych ${\displaystyle i,j{:}}$^[1]

${\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.}$

Symbolicznie można to zapisać:

${\displaystyle A+B=(a_{ij}+b_{ij})\iff (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.}$

Jeśli elementy macierzy należą do pewnej grupy abelowej, to zbiór macierzy o tych samych wymiarach z działaniem dodawania tworzy grupę abelową.

Zgodnie z definicją, aby dodać dwie macierze, dodaje się do siebie elementy o tych samych współrzędnych:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\ldots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\ldots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\ldots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\ldots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\ldots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\ldots &a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix}}}$

W analogiczny sposób odejmuje się macierze.

Przykłady

• suma i różnica dwóch macierzy stopnia ${\displaystyle 2\times 3}$ o wyrazach rzeczywistych:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1{,}3&2&3\\1&2&9\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1{,}2&2&11\\3&-4&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2{,}5&4&14\\4&-2&16\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1{,}3&2&3\\1&2&9\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}1{,}2&2&11\\3&-4&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0{,}1&0&-8\\-2&6&2\end{bmatrix}}}$

• suma dwóch macierzy ${\displaystyle 3\times 2}$ o wyrazach z ciała ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&2\\5&2\\3&4\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&2\\3&4\\3&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&4\\1&6\\6&0\end{bmatrix}}}$

(Informacje o ciele ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ można znaleźć w tym artykule.)

• Suma macierzy

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&4\\3&2\\6&-5\end{bmatrix}}}$ oraz ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&2&4\\5&5&0\\2&7&-1\end{bmatrix}}}$

nie istnieje, gdyż macierze ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ mają różne wymiary.

Zobacz też

• mnożenie macierzy
• potęgowanie macierzy