Dynamika (robotyka)

Dynamika (z gr. δύναμις ‘siła’) – zależność pomiędzy przyspieszeniem, prędkością i położeniem a strukturą robota.

Wzór na dynamikę uzyskuje się z równań Eulera-Lagrange’a oraz równań Hamiltona. Przyjmuje on postać:

${\displaystyle M(q){\ddot {q}}+C(q,{\dot {q}}){\dot {q}}+D(q)+T(q)=F+u,}$ gdzie:

1. ${\displaystyle q,{\dot {q}},{\ddot {q}}}$ – to położenie, prędkość oraz przyspieszenie,
2. ${\displaystyle M(q)}$ – macierz bezwładności,
3. ${\displaystyle C(q,{\dot {q}})}$ – macierz sił odśrodkowych i Coriolisa,
4. ${\displaystyle D(q)}$ – macierz grawitacji,
5. ${\displaystyle T(q)}$ – macierz tarcia,
6. ${\displaystyle F+u}$ – siły działające na układ.

Najczęściej pomija się siły tarcia oraz przyjmuje, że prawa strona równania przyjmuje postać ${\displaystyle u}$ (w przypadku robotów mobilnych prawa strona równania przyjmuje postać ${\displaystyle A^{T}(q)\lambda +B(q)u}$).

Sztywny manipulator

Ponieważ energia potencjalna manipulatora pochodzi od oddziaływania pola grawitacyjnego w celu obliczenia energii ramienia i-tego (wraz z układem napędowym), można je potraktować jako masę punktową ${\displaystyle m_{i}}$ skupioną w środku masy ramienia. Wobec tego nasz model dynamiki manipulatora wygląda następująco:

${\displaystyle M(q){\ddot {q}}+C(q,{\dot {q}}){\dot {q}}+D(q)=u.}$

Manipulator o elastycznych przegubach

W tym przypadku musimy uwzględnić fakt, że z każdym stopniem swobody jest związany układ napędowy co wprowadza nam elastyczność w przegubach. W takiej sytuacji, do opisu dynamiki manipulatora będą potrzebne współrzędne uogólnione ${\displaystyle q_{1}}$ określające położenia przegubów, oraz ${\displaystyle q_{2},}$ które definiują położenia wałów silników napędzających. Model manipulatora elastycznego przyjmuje następującą postać:

${\displaystyle M(q_{1}){\dot {q_{1}}}+C(q_{1},{\dot {q_{1}}}){\dot {q_{1}}}+D(q_{1})+K(q_{1}-q_{2})=0,}$

${\displaystyle I{\ddot {q_{2}}}+K(q_{2}-q_{1})=u,}$

gdzie:

${\displaystyle I}$ – macierz bezwładności silników,

${\displaystyle K}$ – macierz współczynników elastyczności (patrz: ruch harmoniczny).

Robot mobilny

Dynamika robota mobilnego przyjmuje postać:

${\displaystyle M(q){\ddot {q}}+C(q,{\dot {q}}){\dot {q}}+D(q)+T(q)=A^{T}(q)\lambda +B(q)u.}$

Stosując wzór na ograniczenia Pfaffa

${\displaystyle A(q){\dot {q}}=0}$

oraz bezdryfowy układ sterowania

${\displaystyle {\dot {q}}=G(q)\eta ,}$

możemy przekształcić wzór na prostszą postać. Przede wszystkim wyznaczamy drugą pochodną ${\displaystyle q}$ po ${\displaystyle t,}$ tj.

${\displaystyle {\ddot {q}}={\dot {G}}(q)\eta +G(q){\dot {\eta }}.}$

Następnie korzystając z faktu, iż macierz G(q) skonstruowana jest tak, aby ${\displaystyle A(q)G(q)=0,}$ wymnażamy równanie lewostronnie przez ${\displaystyle G^{T}(q).}$ Ostatecznie otrzymujemy:

${\displaystyle {\tilde {M}}(q){\dot {\eta }}+{\tilde {C}}(q)\eta +{\tilde {D}}(q)={\tilde {B}}u.}$

Tym samym dochodzimy do tego podobnego wzoru, co w przypadku manipulatorów sztywnych. Możemy dzięki temu stosować algorytmy sterowania.

Zobacz hasło dynamika w Wikisłowniku