Dyskretna transformata Fouriera

Dyskretna transformata Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform, DFT) – transformata Fouriera wyznaczona dla sygnału próbkowanego, a więc dyskretnego.

Dyskretna transformata Fouriera

DFT przekształca skończony ciąg próbek sygnału ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{N-1}),\ a_{i}\in \mathbb {R} }$ w ciąg harmonicznych: ${\displaystyle (A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{N-1}),\ A_{i}\in \mathbb {C} }$ zgodnie ze wzorem:

${\displaystyle A_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}w_{N}^{-kn}},\ 0\leqslant k\leqslant N-1,}$

${\displaystyle w_{N}=e^{i{\frac {2\pi }{N}}},}$

gdzie:

${\displaystyle i}$ – jednostka urojona,

${\displaystyle k}$ – numer harmonicznej,

${\displaystyle n}$ – numer próbki sygnału,

${\displaystyle a_{n}}$ – wartość próbki sygnału,

${\displaystyle N}$ – liczba próbek.

Przekształcenie odwrotne

Przekształcenie odwrotne do DFT dane jest następującym wzorem:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{A_{k}w_{N}^{kn}},\ 0\leqslant n\leqslant N-1.}$

Postać macierzowa DFT

Wzory na przekształcenie proste, jak i odwrotne, można zdefiniować w postaci macierzowej, odpowiednio w sposób następujący:

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Ma} }$

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {WA} }$

Macierze ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle W}$ mają następującą postać:

${\displaystyle \mathbf {a} =\left[{\begin{matrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{N-1}\end{matrix}}\right]\qquad \mathbf {A} =\left[{\begin{matrix}A_{0}\\A_{1}\\\vdots \\A_{N-1}\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {M} =\left[{\begin{matrix}w_{N}^{-0\cdot 0}&w_{N}^{-1\cdot 0}&\dots &w_{N}^{-(N-1)\cdot 0}\\w_{N}^{-0\cdot 1}&w_{N}^{-1\cdot 1}&\dots &w_{N}^{-(N-1)\cdot 1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\w_{N}^{-0\cdot (N-1)}&w_{N}^{-1\cdot (N-1)}&\dots &w_{N}^{-(N-1)(N-1)}\end{matrix}}\right]\qquad \mathbf {W} ={\frac {1}{N}}\left[{\begin{matrix}w_{N}^{0\cdot 0}&w_{N}^{1\cdot 0}&\dots &w_{N}^{(N-1)\cdot 0}\\w_{N}^{0\cdot 1}&w_{N}^{1\cdot 1}&\dots &w_{N}^{(N-1)\cdot 1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\w_{N}^{0\cdot (N-1)}&w_{N}^{1\cdot (N-1)}&\dots &w_{N}^{(N-1)(N-1)}\end{matrix}}\right]}$

Macierze ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle W}$ mają wymiar ${\displaystyle N\times N}$ oraz spełniają warunek ${\displaystyle W=M^{-1}}$ lub zapisując inaczej ${\displaystyle WM=I,}$ gdzie ${\displaystyle I}$ – macierz jednostkowa.

Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera

Dwuwymiarowe przekształcenie Fouriera w punkcie ${\displaystyle (m,n)}$ definiuje się jako:

${\displaystyle V(m,n)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}{U(x,y)w_{N}^{-ny}w_{M}^{-mx}}.}$

Przekształcenie odwrotne:

${\displaystyle U(x,y)={\frac {1}{NM}}\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}{V(m,n)w_{N}^{ny}w_{M}^{mx}}.}$

Dwuwymiarowa transformata Fouriera wykorzystywana jest m.in. do cyfrowego przetwarzania obrazów.

Powiązanie z transformatą Z

Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. DTF może być wyznaczona przez określenie wartości transformaty Z:

${\displaystyle X(z)}$ dla ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Zobacz też

• cyfrowe przetwarzanie sygnałów
• dyskretna transformata kosinusowa
• matematyka dyskretna
• szybka transformata Fouriera

Linki zewnętrzne

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)].
• Fourier transform, discrete (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].

Encyklopedie internetowe (transformacja Fouriera):

• Treccani: dft