Dziedzina (matematyka)

Dziedzina – dwuznaczne pojęcie matematyczno-logiczne:

• dziedzina relacji binarnej to zbiór wszystkich poprzedników par należących do danej relacji^[1][2][3][4]:

${\displaystyle R\subseteq X\times Y\Rightarrow D(R):=\{x\in X:\exists y\in YxRy\}.}$

W szczególności dziedzina funkcji to zbiór jej wszystkich argumentów – obiektów, dla których ma określone wartości^[5][6]; dla funkcji ${\displaystyle f:X\to Y}$ zbiór ${\displaystyle X}$ oznacza się ${\displaystyle \operatorname {dom} f}$^{[potrzebny przypis]} lub ${\displaystyle D_{f}}$^[7]. Dla tak rozumianej dziedziny funkcji proponowano też nazwę pole, przy czym pole relacji oznacza co innego^[8];

• dziedzina funkcji (wyrażenia) to także zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens^[9]; jest to najszerszy – w sensie inkluzji – podzbiór osi rzeczywistej, który może być dziedziną w pierwszym sensie. Zbiór ten jest też znany jako dziedzina naturalna danego wyrażenia^[10][11] i dla funkcji ${\displaystyle f}$ również oznacza się go ${\displaystyle D_{f}}$^[9][7]. Analogiczne pojęcie dziedziny naturalnej można rozważać dla funkcji zespolonych^{[potrzebny przypis]}.

Ten artykuł dotyczy zbioru. Zobacz też: dziedzina całkowitości.

Pierwsze z tych pojęć uogólnia się na relacje wieloczłonowe – dla relacji ${\displaystyle n}$-członowej ${\displaystyle R\subseteq X_{1}\times ...\times X_{n}}$ definiuje się ${\displaystyle n}$ różnych dziedzin^[12]: ${\displaystyle D_{1},...,D_{n}.}$

Przykłady

• Ciągi nieskończone definiuje się jako funkcje, których dziedziną jest zbiór wszystkich liczb naturalnych: ${\displaystyle a_{n}:\mathbb {N} \to Y.}$

Dziedziny naturalne funkcji elementarnych

• Dziedziną wielomianów, funkcji wykładniczych, sinusa, cosinusa i arcus tangensa może być cała oś rzeczywista lub szerzej: płaszczyzna zespolona.
• Dla niektórych funkcji wymiernych innych niż wielomiany dziedziną może być cała oś rzeczywista – przykładem jest rozkład Cauchy’ego. Z kolei dziedzina dowolnej homografii nie zawiera co najmniej jednego punktu, przez niemożność dzielenia przez zero.
• Pierwiastek arytmetyczny stopnia nieparzystego z dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą rzeczywistą. Za do dla stopnia parzystego, np. pierwiastka kwadratowego, wartości rzeczywiste są przyjmowane tylko dla liczb nieujemnych. Podobnie jest z funkcjami potęgowymi o wykładniku niewymiernym.
• Dla logarytmów o wartościach rzeczywistych najszerszą dziedziną jest półoś liczb dodatnich^[11]; rozważa się logarytmy z liczb ujemnych, jednak wartości są wtedy zespolone.
• Jest nieskończenie wiele liczb rzeczywistych, dla których funkcja tangens nie jest określona; jej dziedziną nie może być np. półprosta.
• Dwie podstawowe funkcje kołowe – arkus sinus i arkus cosinus – przyjmują wartości rzeczywiste tylko na przedziale domkniętym ${\displaystyle [-1;1]}$^[11].

Własności

• Dziedzina sumy relacji jest sumą ich dziedzin^[13]:

${\displaystyle D(R_{1}\cup R_{2})=D(R_{1})\cup D(R_{2}).}$

• Dziedzina przekroju relacji to podzbiór przekroju ich dziedzin^[13]:

${\displaystyle D(R_{1}\cap R_{2})\subseteq D(R_{1})\cap D(R_{2}).}$

• Dowolna dziedzina różnicy relacji wieloczłonowych to nadzbiór różnic ich dziedzin^[14]:

${\displaystyle R_{1},R_{2}\subseteq X_{1}\times ...\times X_{n}\Rightarrow \forall k\in \{1,...,n\}:D_{k}(R_{1}\backslash R_{2})\supseteq D_{k}(R_{1})\backslash D_{k}(R_{2}).}$

Przypisy

1. dziedzina relacji, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-30].
2. relacja, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-21].
3. Moszner 1974 ↓, s. 67.
4. Stanosz 2012 ↓, s. 98.
5. dziedzina funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-30].
6. Domain of definition (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-20].
7. Dziedzina, przeciwdziedzina i zbiór wartości funkcji, Matematyka z ZUT-em, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2023-12-22].
8. Moszner 1974 ↓, s. 82.
9. Dziedzina, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-20].
10. Dawid Migacz, Gdy funkcja jest niewiadomą – równania funkcyjne, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 10 lutego 2022 [dostęp 2023-12-20].
11. Anna Barbaszewska-Wiśniowska, Dziedzina naturalna funkcji, Open AGH, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl, 4 listopada 2015 [dostęp 2023-12-20].
12. Moszner 1974 ↓, s. 163.
13. Moszner 1974 ↓, s. 69.
14. Moszner 1974 ↓, s. 164.

Bibliografia

• Zenon Moszner: O teorii relacji. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1974.
• Barbara Stanosz: Ćwiczenia z logiki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012. ISBN 978-83-01-14428-9.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Domain, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-30].

Encyklopedie internetowe (pojęcie matematyczne):

• DSDE: definitionsmængde