Funkcja Cobba-Douglasa

Funkcja Cobba-Douglasa − przedstawienie zależności produkcji od zasobów pracy i kapitału, często stosowane w ekonomii jako funkcja produkcji. Została sformułowana przez Knuta Wicksella i przetestowana na danych statystycznych przez Paula Douglasa i Charlesa Cobba w 1928 roku^[1].

Oryginalnie sformułowana jako funkcja powyższych dwóch zmiennych:

${\displaystyle F(K,L)=aK^{\alpha }L^{\beta },\quad K,L\geqslant 0,}$

gdzie:

${\displaystyle K}$ – nakład kapitału,

${\displaystyle L}$ – nakład pracy potrzebny do wytworzenia ${\displaystyle Y=F(K,L)}$ jednostek produktu,

${\displaystyle a}$ – parametr skalujący.

Funkcja zachowuje zasadę malejących przychodów – każda kolejna jednostka jednego z zasobów bez wzrostu zasobu drugiego skutkuje mniejszym przyrostem produkcji.

W klasycznej funkcji Cobba-Douglasa ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$^[a], co skutkuje brakiem efektów skali (wzrost ${\displaystyle K}$ i ${\displaystyle L}$ o 100% spowoduje wzrost ${\displaystyle Y}$ także o 100%). Założenie to jest postulatem części makroekonomistów, argumentujących, że z jednej strony w całej gospodarce nie ma niekorzyści skali, bo zakłady pracy można po prostu kopiować, z drugiej jednak strony istnieje wiele zakładów pracy, które osiągnęły już optymalną wielkość.

Zdjęcie ostatniego założenia daje funkcję typu Cobba-Douglasa. W przypadku ${\displaystyle \alpha +\beta >1}$ mamy korzyści skali, w odwrotnym przypadku są ujemne skutki skali.

W uogólnieniu funkcja Cobba-Douglasa – to funkcja wielu zmiennych wyrażająca się wzorem

${\displaystyle F(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{N})=a\prod _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}}$

określona dla ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{N}\geqslant 0.}$

Funkcja posiada następujące własności:

1. jest nieujemna,
2. jest rosnąca,

a gdy ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\alpha _{i}}=1}$

1. funkcja jest homogeniczna stopnia pierwszego, tj. ${\displaystyle \forall z>0\colon F(zX_{1},zX_{2},\dotsc ,zX_{N})=zF(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{N}),}$

co daje stałe przychody względem skali produkcji.

Uwagi

1. Nie jest to jednak warunek konieczny. Jeśli ${\displaystyle \alpha +\beta \neq 1,}$ wystarczy rozważyć funkcję

   ${\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{\alpha +\beta }}.}$

   Funkcja ${\displaystyle f}$ jest rosnąca, zatem po monotonicznej transformacji nie zmienią się preferencje oraz

   ${\displaystyle F_{1}(K,L)=f(F(K,L))=aK^{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}L^{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}.}$

   Ponadto suma wykładników daje jedynkę:

   ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}+{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}=1.}$

Przypisy

1. Charles W. Cobb, Paul H. Douglas. A theory of production. „American Economic Review”. 18, s. 139–165, 1928. (ang.).

Encyklopedie internetowe (funkcja produkcji):

• Britannica: topic/Cobb-Douglas-function