Funkcja Möbiusa

Funkcja Möbiusa, funkcja ${\displaystyle \mu }$ – funkcja arytmetyczna określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa w 1831 roku^[1] i zdefiniowana w następujący sposób:

• ${\displaystyle \mu (1)=1,}$
• ${\displaystyle \mu (n)=0,}$ jeśli liczba ${\displaystyle n}$ jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej (jest kwadratowa),
• ${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{k},}$ jeśli liczba ${\displaystyle n}$ jest iloczynem ${\displaystyle k}$ parami różnych liczb pierwszych (jest bezkwadratowa).

Wykres wartości funkcji Möbiusa dla ${\displaystyle n<50}$

Funkcja ${\displaystyle \mu }$ wykorzystywana jest często w elementarniej i analitycznej teorii liczb. Występuje w twierdzeniu Möbiusa o odwracaniu.

Wartości

Wartości funkcji Möbiusa dla małych ${\displaystyle n}$ (ciąg A008683 w OEIS):

${\displaystyle n}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 11}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 13}$	${\displaystyle 14}$	${\displaystyle 15}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle 17}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle 19}$	${\displaystyle 20}$
${\displaystyle \mu (n)}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$

Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Möbiusa:

${\displaystyle \mu (n)=-1}$ (A030059 w OEIS)	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31,...
${\displaystyle \mu (n)=0}$ (A013929 w OEIS)	4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32,...
${\displaystyle \mu (n)=1}$ (A030229 w OEIS)	1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35,...

Własności

Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną, co oznacza, że

${\displaystyle \mu (a)\cdot \mu (b)=\mu (ab),}$

jeśli ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są liczbami względnie pierwszymi. Nie jest jednak funkcją całkowicie multiplikatywną.

Dla dowolnej liczby całkowitej ${\displaystyle n}$ zachodzi

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{ gdy }}n=1\\0&{\text{ gdy }}n>1,\end{cases}}}$

gdzie ${\textstyle \sum _{d|n}}$ oznacza sumę po wszystkich dodatnich dzielnikach liczby ${\displaystyle n.}$ Fakt ten wykorzystywany jest chociażby w konstrukcji sita Selberga.

Funkcja zeta Riemanna

Funkcja Möbiusa spełnia równości opisujące funkcję zeta Riemanna na półpłaszczyźnie zespolonej. Dla każdej liczby zespolonej ${\displaystyle s}$ o części rzeczywistej ${\displaystyle \Re (s)>1}$ zachodzi równość

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}.}$

Można ją wywnioskować z iloczynu Eulera funkcji zeta,

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}}$

zbieżnego na tej półpłaszczyźnie.

Ponadto

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}.}$

Szeregi

Funkcja ${\displaystyle \mu }$ występuje w następujących szeregach zbieżnych:

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0,}$ co jest równoważne z twierdzeniem o liczbach pierwszych^[2],
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\log n}{n}}=-1,}$ gdzie ${\displaystyle \log }$ to logarytm naturalny,
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)(\log n)^{2}}{n}}=-2\gamma ,}$ gdzie ${\displaystyle \gamma }$ jest stałą Eulera-Masheroniego.

Szeregiem Lamberta funkcji Möbiusa jest szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,}$

który jest zbieżny dla ${\displaystyle |q|<1.}$ Dodatkowo, dla dowolnej liczby pierwszej ${\displaystyle p\geqslant 2}$ zachodzi

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (pn)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{p^{n}}}$

również dla ${\displaystyle |q|<1.}$

Związek z funkcjami trygonometrycznymi

Spójrzmy na ciąg ułamków

${\displaystyle {\frac {1}{42}},\qquad {\frac {2}{42}},\qquad {\frac {3}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {39}{42}},\qquad {\frac {40}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.}$

Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:

${\displaystyle {\frac {1}{42}},\qquad {\frac {5}{42}},\qquad {\frac {11}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {31}{42}},\qquad {\frac {37}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.}$

Utwórzmy sumę:

${\displaystyle \cos \left(2\pi \cdot {\frac {1}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {5}{42}}\right)+\ldots +\cos \left(2\pi \cdot {\frac {37}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {41}{42}}\right).}$

Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie

${\displaystyle \sum _{1\leqslant x<n,\operatorname {NWD} (x,n)=1}\cos \left(2\pi \cdot {\frac {x}{n}}\right)=\mu (n).}$

Funkcja Mertensa

Osobny artykuł: Funkcja Mertensa.

W teorii liczb inną funkcją zdefiniowaną przy pomocy funkcji Möbiusa, mającą duże znaczenie jest funkcja Mertensa

${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n).}$

Zależność ${\displaystyle M(x)=o(x)}$ jest równoważna z twierdzeniem o liczbach pierwszych^[2], a ${\textstyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}$ – z hipotezą Riemanna^[3].