Funktory sprzężone – jedno z centralnych pojęć zaawansowanej teorii kategorii, ściśle związane z innymi ważnymi pojęciami, w szczególności z rozmaitymi zagadnieniami jednoznacznej faktoryzacji oraz z funktorami reprezentowalnymi poprzez funktory główne (zwane też hom-funktorami). W przeciwieństwie do wielu innych pojęć teorii kategorii, które można uznać za wysłowienie w języku kategorii intuicji oswojonych już w ramach algebry lub topologii, pojęcie funktora sprzężonego jest istotnie nowe.
Załóżmy, że i są kategoriami, a i są funktorami kowariantnymi. Zbiór morfizmów kategorii będziemy oznaczać symbolem Funktor nazywa się lewym sprzężonym do funktora i zarazem nazywa się prawym sprzężonym do gdy istnieje naturalna równoważność bifunktorów:
(naturalna w obu zmiennych )[1][2]. Będziemy używać zapisu typu na oznaczenie naturalnej równoważności funktorów Warunek sprzężoności zapisany w postaci ułatwia zapamiętanie, który z funktorów jest lewym sprzężonym, a który prawym[uwaga 1]. Ponadto optycznie przypomina to definicję operatora sprzężonego w przestrzeni Hilberta.
Będziemy korzystać z tego, że dowolną funkcję dwóch zmiennych tradycyjnie oznaczaną symbolem można utożsamić z rodziną funkcji jednej zmiennej określonych jako Ponieważ gdzie oznacza zbiór wszystkich funkcji przyporządkowanie to prowadzi, przy ustalonym zbiorze do naturalnej równoważności bifunktorów:
Znaczy to, że funktor mnożenia kartezjańskiego przez ustalony zbiór jest lewym sprzężonym do funktora głównego wyznaczonego przez Kreska jest tu symbolem zmiennej (za którą podstawić można symbole obiektów i morfizmów).
Rozpatrzmy przypadek, gdy jest kategorią grup abelowych, kategorią przestrzeni liniowych nad ciałem lub ogólniej kategorią modułów nad pierścieniem przemiennym z jednością i oznaczmy przez zbiór zaopatrzony w strukturę obiektów danej kategorii. W ten sposób Hom staje się bifunktorem Wiążąc to ze znanymi związkami bimorfizmów na produktach (tzn. homomorfizmów względem każdej zmiennej osobno) z homomorfizmami na produktach tensorowych stwierdzamy naturalną równoważność funktorów trzech zmiennych
- i
gdzie są symbolami tych zmiennych[3].
Zastosowania w teorii homotopii
Ze sprzężenia funktorów i wynikają dalsze związki, kluczowe dla teorii homotopii. Rozważmy kategorię przestrzeni topologicznych z wyróżnionymi punktami bazowymi i przekształceń ciągłych zachowujących punkty bazowe. Jeśli i są obiektami, to przestrzeń złożona z wszystkich par takich, że lub jest ich koproduktem. Przestrzeń ilorazowa zwana jest produktem ściągniętym (ang. smash product). Przez oznaczymy zbiór morfizmów z topologią zwarto-otwartą. Jeżeli są przestrzeniami Hausdorffa i jest ustaloną przestrzenią lokalnie zwartą, to otrzymujemy równoważność naturalną:
Oznaczmy przez sferę -wymiarową Przestrzeń może być utożsamiona ze zredukowanym zawieszeniem przestrzeni (ang. reduced suspension lub based suspension). W teorii homotopii odwzorowania ciągłe zwane są pętlami (ang. loop) w przestrzeni Funktor pętli obiektowi przyporządkowuje przestrzeń pętli w tzn. zbiór Wstawiając do powyższej równoważności naturalnej funktorów i stwierdzamy, że funktor zawieszenia z kategorii do jest lewym sprzężonym do funktora Po przejściu do klas homotopii otrzymuje się równoważność naturalną[4]
gdzie oznacza zbiór klas homotopii przestrzeni Wykorzystując -krotnie te sprzężenia i to, że jest homeomorficzne z otrzymuje się ciąg równoważności naturalnych:
w których oznacza -tą grupę homotopii przestrzeni
W przypadku funktorów kontrawariantnych mamy dwa rodzaje sprzężenia. Mianowicie jeśli i są funktorami kontrawariantnymi, to wyznaczają one cztery funktory kowariantne[5].
Dokonuje się tego poprzez złożenia funktorów z funktorami dualizacji[6].
Funktory kontrawariantne nazywają się prawostronnie sprzężone, gdy jest lewym sprzężonym do Jest to równoważne temu, że jest prawym sprzężonym do Funktory nazywają się lewostronnie sprzężone, gdy jest prawym sprzężonym do Jest to równoważne temu, że jest lewym sprzężonym do
Na przykład jeśli jest ustaloną przestrzenią liniową nad ciałem to kontrawariantny funktor jest prawostronnie sprzężony sam do siebie.
Załóżmy, że jest podkategorią kategorii Funktor jest lewym sprzężonym do funktora inkluzji wtedy i tylko wtedy, gdy jest reflektorem, tzn. ma następującą własność: Każdemu przyporządkowany jest morfizm w kategorii (tu ) mający własność jednoznacznej faktoryzacji: dla każdego i każdego morfizmu w podkategorii istnieje jeden i tylko jeden morfizm w taki, że diagram komutuje, tj. Podobnie definiuje się pojęcie quasi-reflektora jako lewego sprzężonego do funktora zapominania
Liczne przykłady reflektorów i quasi-reflektorów można znaleźć w rozmaitych dziedzinach matematyki[7]. Oto niektóre z nich.
- Uzupełnienie przestrzeni metrycznej (metodą Cantora) wraz z przedłużeniem przekształceń spełniających warunek Lipschitza z przestrzeni do ich uzupełnień wyznacza reflektor z kategorii do podkategorii pełnej przestrzeni zupełnych.
- Abelianizacja grupy[8]. Jeżeli oznacza komutant grupy to epimorfizmy kanoniczne wyznaczają reflektor z do
- Uprzemiennianie pierścienia przez epimorfizm kanoniczny gdzie jest ideałem dwustronnym generowanym przez komutatory wyznacza reflektor z kategorii pierścieni do podkategorii pełnej pierścieni przemiennych[9].
- Grupa abelowa nazywa się beztorsyjna, gdy każdy jej niezerowy element ma rząd nieskończony, tzn. dla ( naturalne). Dla dowolnego obiektu kategorii kanoniczny epimorfizm z na grupę ilorazową (gdzie jest podgrupą wszystkich elementów rzędu skończonego) ma powyższą własność jednoznacznej faktoryzacji i wyznacza reflektor z do jej podkategorii pełnej grup beztorsyjnych[7].
- Kategoria przestrzeni wektorowych nad ciałem liczb zespolonych nie jest podkategorią kategorii ale można rozważać funktor zapominania („zapomina się” o mnożeniu przez skalary urojone). Dla dowolnej przestrzeni wektorowej A nad ciałem rozpatrujemy przyporządkowanie obiektowe funktora Φ jako Φ(A) = A×A z działaniem dodawania określonym jak w sumie prostej i mnożeniem wektora przez skalar określonym wzorem [10].
Funktor kowariantny nazywa się reprezentowalny przez obiekt gdy jest naturalnie równoważny funktorowi głównemu
W analogiczny sposób definiuje się reprezentowalność funktora kontrawariantnego jako naturalną równoważność funktorowi [11].
Na przykład funktor zapominania który każdej przestrzeni topologicznej przyporządkowuje jej nośnik (tzn. zbiór jej elementów, bez żadnej topologii), jest reprezentowalny przez przestrzeń jednopunktową. Podobnie funktor zapominania z kategorii grup jest reprezentowalny przez grupę (wolną o jednym generatorze).
Funktor kowariantny z \mathbf{Set} do \mathbf{Set}, którego przyporządkowaniem obiektowym jest jest reprezentowalny przez zbiór opiera się to na tym, że każdy element zbioru jest funkcją odpowiadającą parze w
Kontrawariantny funktor potęgowy jest też reprezentowalny przez zbiór bowiem każdy element zbioru (czyli funkcja z do ) jest funkcją charakterystyczną jakiegoś podzbioru zbioru
Podstawowy związek między omawianymi tu pojęciami wyraża następujące twierdzenie[12]. Na to, aby funktor kowariantny miał lewy sprzężony, potrzeba i wystarcza, aby dla każdego obiektu istniał obiekt taki, że funktor z do jest reprezentowalny przez Okazuje się, że wówczas
Załóżmy, że funktor jest lewym sprzężonym do funktora Wówczas funktory te mają następujące własności[13].
- zachowuje epimorfizmy, tzn. dla każdego epimorfizmu kategorii morfizm kategorii jest też epimorfizmem. Dualnie, funktor zachowuje monomorfizmy.
- zachowuje koprodukty, tzn. jeżeli jest koproduktem obiektów w kategorii to jest koproduktem obiektów w kategorii Dotyczy to również koproduktów nieskończonych rodzin obiektów. Dualnie, funktor zachowuje produkty.
- zachowuje obiekty początkowe, a zachowuje obiekty końcowe.
- zachowuje koekwalizatory, a zachowuje ekwalizatory.
- Ogólniej, zachowuje kogranice (końce) diagramów, a zachowuje granice (początki) diagramów.
Twierdzenie Freyda o istnieniu funktora sprzężonego
W przypadku kategorii zupełnych powyższe własności funktora są niemal warunkami dostatecznymi na istnienie lewego sprzężonego do
Twierdzenie Freyda[14][15][16]. Załóżmy, że jest kategorią zupełną i lokalnie małą. Na to, by funktor miał lewy sprzężony, potrzeba i wystarcza, by zachowywał granice diagramów oraz spełniał tzw. warunek zbioru rozwiązującego[uwaga 2].
Warunek ten, dość skomplikowany, jest spełniony przez większość typowych kategorii. Wystarczy np. by kategoria miała separator, tzn. obiekt taki, że każdej pary morfizmów istniał morfizm taki, że (takim obiektem jest np. ciało skalarów w oraz przedział [0,1] w )[17].
Pary funktorów sprzężonych ujawniają się w dość nieoczekiwanych miejscach. Wymienimy niektóre z nich.
1) W każdej algebrze Heytinga dla każdego funktor z w o przyporządkowaniu obiektowym jest lewym sprzężonym funktora o przyporządkowaniu obiektowym
2) Niech oznacza jedyny funktor z danej kategorii do kategorii utworzonej ze zbioru jednoelementowego i jego identyczności Istnienie funktora lewego sprzężonego do jest równoważne istnieniu obiektu początkowego w a istnienie funktora prawego sprzężonego do jest równoważne istnieniu obiektu końcowego w [18].
3) Symbolem oznaczmy kategorię, w której obiektami są formuły języka logiki pierwszego rzędu, a morfizmami
są wynikania. Oczywiste zanurzenie w którym nie jest zmienną wolną w jest funktorem. Z reguł rachunku kwantyfikatorów wynika, że funktor jest lewym sprzężonym funktora a funktor
jest prawym sprzężonym funktora [18].
Stwierdzenie, że „funktor jest lewym sprzężonym” znaczy to samo co „funktor ma prawy sprzężony”. Po angielsku to left adjoint, a to right adjoint. Niektórzy autorzy używają pary terminów: adjoint i coadjoint na lewy i prawy sprzężony odpowiednio, a inni – akurat odwrotnie. Tutaj używamy terminologii Mac Lane’a.
Warunek ten można sformułować następująco: dla dowolnego obiektu istnieje zbiór o następującej własności: dla każdego i każdego morfizmu w istnieją: obiekt morfizm w i morfizm w takie, że
M. Zawadowski, Elementy teorii kategorii, twierdzenie 6.9.
B. Skowron, Gestalty w matematyce. O unifikującej sile sprzężeń funktorowych, w: R. Murawski, J. Woleński (red.), Problemy filozofii matematyki i informatyki, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2018, s. 165–175.