Konwencje w teoriach relatywistycznych

Konwencje w teoriach relatywistycznych – konwencje związane z indeksami występującymi we wzorach, stosowane w teoriach relatywistycznych (szczególnej teorii względności, ogólnej teorii względności, elektrodynamice, relatywistycznej mechanice kwantowej).

Konwencja sumacyjna Einsteina

Konwencja sumacyjna Einsteina to skrócony zapis, w którym pomija się znak sumowania ${\displaystyle \sum ,}$ jeżeli w wyrażeniu po znaku sumy występują jednocześnie symbole z indeksami górnymi i symbole z indeksami dolnymi lub jeden symbol o tych dwóch indeksach, np. ${\displaystyle \sum _{j=0}^{3}g_{ij}A^{j}=g_{ij}A^{j}}$ – indeksem sumacyjnym (niemym) jest ${\displaystyle j.}$

Tensor metryczny

(1) Tensor metryczny danego układu współrzędnych krzywoliniowych:

${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ – składowe kontrawariantne tensora metrycznego

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ – składowe kowariantne tensora metrycznego

(2) Wyznacznik kowariantnego tensora metrycznego ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ tradycyjnie oznacza się literą ${\displaystyle g,}$ tj.

${\displaystyle g\equiv \det(g_{\alpha \beta })}$

(3) Tensor metryczny kontrawariantny jest zadany macierzą odwrotną do macierzy tensora kowariantnego, tj.

${\displaystyle [g^{\mu \nu }]=[g_{\mu \nu }]^{-1}}$

Indeksy greckie

Indeksy oznaczane literami alfabetu greckiego (${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\dots ,\mu ,\nu ,\tau }$ itp.) przebiegają wszystkie możliwe wartości, zależnie od wymiaru ${\displaystyle n}$ przestrzeni, w której rozważa się tensory.

a) W czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową, indeksy przebiegają 4 wartości; tradycyjnie używa się liczb z zakresu ${\displaystyle \{0,1,2,3\}}$ (lub ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$), np.

• ${\displaystyle x_{\nu }}$ – składowe kowariantne czterowektora położenia, przy czym:
  • ${\displaystyle x_{0}}$ – składowa czasowa
  • ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ – składowe przestrzenne
• ${\displaystyle p_{\mu }}$ – składowe kowariantne czterowektora pędu, przy czym:
  • ${\displaystyle p_{0}}$ – składowa czasowa,
  • ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}}$ – składowe przestrzenne

b) Ogólnie, dla przestrzeni ${\displaystyle n}$-wymiarowych indeksy przyjmują ${\displaystyle n}$ wartości, np. ze zbioru ${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}$ lub ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}.}$

Indeksy łacińskie

Indeksy oznaczane literami alfabetu łacińskiego, np. ${\displaystyle i,j,k}$ przebiegają zbiór wartości ${\displaystyle \{1,2,3\}.}$

Tensory indeksowane w ten sposób są tensorami zdefiniowanymi nad przestrzenią 3-wymiarową.

Np.

${\displaystyle x_{i}}$ – składowe przestrzenne 3-wektora położenia, ${\displaystyle i=1,2,3}$

${\displaystyle p_{i}}$ – składowe przestrzenne 3-wektora pędu, ${\displaystyle i=1,2,3}$

${\displaystyle T_{ij}}$ – składowe przestrzenne tensora napięć-energii, ${\displaystyle i,j=1,2,3}$

Podnoszenie/opuszczanie wskaźników

Osobny artykuł: podnoszenie i opuszczanie wskaźników.

(1) Aby opuścić wskaźnik wektora (ogólnie: tensora) mnoży się współrzędną z górnym wskaźnikiem przez tensor metryczny kowariantny

${\displaystyle V_{\mu }=g_{\mu \nu }V^{\nu }}$

(2) Aby podnieść wskaźnik wektora (lub ogólnie: tensora) mnoży się współrzędną z dolnym wskaźnikiem przez tensor metryczny kontrawariantny

${\displaystyle V^{\mu }=g^{\mu \nu }V_{\nu }}$

Pochodna cząstkowa i kowariantna

W układach krzywoliniowych nieortogonalnych sama pochodna cząstkowa nie ma charakteru tensorowego – dlatego definiuje się tzw. pochodną kowariantną, która ma charakter tensorowy (jest ona równa pochodnej cząstkowej uzupełnionej o dodatkowe składniki, związane z krzywoliniowością układu współrzędnych).

Oznaczenia:

• w teorii względności:
  • pochodna cząstkowa 1-go rzędu – przecinek: ${\displaystyle V_{,\mu }}$
  • pochodna cząstkowa 2-go rzędu – przecinek: ${\displaystyle V_{,\mu \nu }}$
  • pochodna kowariantna – średnik: ${\displaystyle V_{;\mu }}$
• w mechanice kwantowej:
  • pochodna cząstkowa – stylizowana delta: ${\displaystyle \partial _{\mu }V}$
  • pochodna kowariantna – duża litera ${\displaystyle \operatorname {D} {:}}$ ${\displaystyle \operatorname {D} _{\mu }V}$
• w mechanice klasycznej:
  • pochodna cząstkowa – przecinek: ${\displaystyle V_{,\mu }}$
  • pochodna kowariantna – nabla: ${\displaystyle \operatorname {\nabla } _{\mu }V}$

Zobacz też

• tensor
• tensor metryczny
• współrzędne krzywoliniowe

Bibliografia

• P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1958.
• John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.