Kryterium Dirichleta zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych

Kryterium Dirichleta – warunek wystarczający zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego postaci

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)g_{n}(x).}$

Nazwa pochodzi od nazwiska Petera Gustawa Dirichleta.

Kryterium

Niech ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$ i ${\displaystyle (g_{n})_{n=1}^{\infty }}$ będą takimi ciągami funkcji skalarnych określonych na wspólnej dziedzinie ${\displaystyle A,}$ że

• istnieje taka liczba dodatnia ${\displaystyle M}$ że dla wszystkich liczb naturalnych ${\displaystyle n}$ oraz wszystkich elementów ${\displaystyle x}$ należących do ${\displaystyle A{:}}$

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}f_{i}(x)\right|\leqslant M,}$

• dla każdego ${\displaystyle x}$ ze zbioru ${\displaystyle A}$ ciąg ${\displaystyle (g_{n}(x))_{n=1}^{\infty }}$ jest monotoniczny oraz zbieżny jednostajnie do ${\displaystyle 0.}$

Wówczas szereg funkcyjny

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)g_{n}(x)}$

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze ${\displaystyle A.}$

Istnieje wersja powyższego kryterium dla całek niewłaściwych, mianowicie kryterium Dirichleta zbieżności całek niewłaściwych.

W przypadku, gdy ${\displaystyle (g_{n})}$ jest monotonicznym ciągiem liczbowym zbieżnym do ${\displaystyle 0,}$ kryterium Dirichleta można uogólnić na szeregi w przestrzeniach Banacha. Szczególnym przypadkiem powyższego kryterium jest kryterium Dirichleta dla szeregów liczbowym (tj. przypadek, gdy ${\displaystyle A}$ jest zbiorem jednoelementowym).

Kryterium Dirichleta o zbieżności szeregów liczbowych

Osobny artykuł: Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów liczbowych.

Jeżeli ciąg sum częściowych

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n=1}^{\infty }}$

szeregu liczbowego

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

jest ograniczony, a ${\displaystyle (b_{n})_{n=1}^{\infty }}$ jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do ${\displaystyle 0,}$ to szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

jest zbieżny.

Zobacz też

• kryteria zbieżności szeregów
• kryterium Abela
• kryterium Weierstrassa
• zbieżność monotoniczna
• zbieżność punktowa ciągu funkcji

Bibliografia

• Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. czwarte. T. II. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 371.
• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000, s. 184–185. ISBN 830232-1049-7.