Kryterium Schlömilcha

Kryterium Schlömilcha – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez niemieckiego matematyka, Oskara Schlömilcha.

Ten artykuł dotyczy kryterium Schlömilcha zbieżności szeregów. Zobacz też: kryterium Schlömilcha zagęszczające.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},}$

(A)

o wyrazach dodatnich. Niech ponadto

${\displaystyle S_{n}=n\cdot \ln {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\quad (n\in \mathbb {N} ).}$

• Jeżeli

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }S_{n}>1}$

to szereg (A) jest zbieżny.

• Jeżeli dla dostatecznie dużych ${\displaystyle n}$ spełniona jest nierówność ${\displaystyle S_{n}\leqslant 1,}$ to szereg (A) jest rozbieżny^[1].

Przykład zastosowania

Osobny artykuł: Kryterium Raabego.

Kryterium Schlömilcha pozwala stwierdzać rozbieżność niektórych szeregów których zbieżności nie rozstrzyga kryterium Raabego. Na przykład kryterium Raabego nie rozstrzyga o rozbieżności szeregu

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n-1)!!]^{2}}},}$

gdyż

${\displaystyle R_{n}=1+{\frac {1}{4n}}\to 1^{+}.}$

Z drugiej jednak strony

${\displaystyle S_{n}=n\cdot \ln {\big (}1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}{\big )}<1}$

dla dostatecznie dużych ${\displaystyle n}$^[2].

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga

Niech

${\displaystyle a_{n}={\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^{2}}}.}$

W tym wypadku

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}},}$

a zatem ciąg ${\displaystyle (S_{n})}$ maleje oraz jego granicą jest ${\displaystyle 1}$^[2].