Krzywa Watta

Krzywa Watta – krzywa płaska, tworzona za pomocą dwóch okręgów o promieniach ${\displaystyle b}$ i środkach oddalonych od siebie o ${\displaystyle 2a,}$ usytuowanych np. w punktach ${\displaystyle (\pm a,0);}$ gdy końce odcinka prostoliniowego o długości ${\displaystyle 2c}$ ślizgają się po okręgach, to punkt środkowy odcinka kreśli krzywą Watta.

Krzywa Watta o parametrach a=2.1, b=2.2, c=0.6

Krzywa Watta o parametrach a=3.1, b=1.1, c=3.0

Krzywa Watta o parametrach a=1, b=${\displaystyle {\sqrt {2}},}$ c=1

Krzywa ta została odkryta w związku z pionierskimi pracami Jamesa Watta nad silnikiem parowym.

Współrzędne kartezjańskie

Krzywa Watta jest krzywą algebraiczną szóstego stopnia, tzn. w układzie współrzędnych kartezjańskich jej równanie jest wielomianem szóstego stopnia ${\displaystyle W(x,y)}$ zmiennych ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y}$ (stopień wielomianu jest to maksymalny stopień jego wszystkich składników postaci ${\displaystyle x^{i}y^{j}}$), tj.

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0,}$

gdzie ${\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}-c^{2}.}$

Współrzędne biegunowe

Równanie krzywej Watta w układzie współrzędnych biegunowych ma postać:

${\displaystyle r^{2}=b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.}$

Genus

Krzywa Watta ma genus rzędu 1 z niezmiennikiem j danym wzorem

${\displaystyle j={\frac {256{\big (}(b^{2}-1)^{4}-2a^{2}(b^{2}+1)(b^{2}-1)^{2}+a^{4}(b^{4}-b^{2}+1){\big )}^{3}}{a^{8}b^{4}(b^{2}-1)^{2}{\big (}(a+b)^{2}-1{\big )}{\big (}(a-b)^{2}-1{\big )}}}.}$

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Watt’s Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
• Krzywa Wattta, [w:] Mathematical curves