LZ78

LZ78 – słownikowa metoda bezstratnej kompresji danych. Została opracowana w 1978 roku przez Ja’akowa Ziwa i Awrahama Lempela i opisana w IEEE Transactions on Information Theory, w artykule pt. „Compression of individual sequences via variable-rate encoding” (s. 530–536).

Kompresja polega na zastępowaniu ciągów symboli indeksami do słownika przechowującego ciągi symboli, które wcześniej wystąpiły w kompresowanych danych. Dzięki temu wielokrotnie powtarzające się ciągi symboli (np. te same słowa, czy frazy w tekście) są zastępowane o wiele krótszymi indeksami (liczbami).

Autorzy LZ78 rok wcześniej opracowali metodę LZ77, w której słownik miał stałą wielkość, co powodowało, że jego zawartość zmieniała się cały czas wraz z napływaniem nowych danych. Skutkiem tego, jeśli na wejściu powtórzył się pewien ciąg, który co prawda występował wcześniej, ale w słowniku już go nie było, musiał zostać zapamiętany raz jeszcze.

Ogólnie metoda LZ78 jest bardzo zbliżona do LZ77, z tym jednak wyjątkiem, że słownik jest zewnętrzny i rozszerzany w miarę potrzeb, tak że żaden ciąg występujący w przetworzonych już danych nie jest tracony. Dzięki temu uzyskuje się lepszy współczynnik kompresji kosztem skomplikowania dostępu do słownika – ze względu na szybkość dostępu do poszczególnych słów jest on realizowany jako drzewo (binarne, trie) albo tablica haszująca.

Dużą zaletą metody jest to, że potencjalnie bardzo dużego słownika w ogóle nie trzeba zapamiętywać – zostanie on odtworzony przez dekoder na podstawie zakodowanych danych (patrz: przykład dekompresji). Jednak pewną wadą jest praktycznie jednakowa złożoność kodu kompresującego i dekompresującego.

W praktyce powszechnie używany jest wariant LZ78 nazywany LZW.

Algorytm kompresji

Kompresowany jest ciąg ${\displaystyle S}$ zawierający ${\displaystyle n}$ symboli.

1. Wyczyść słownik.
2. ${\displaystyle i:=0}$ (${\displaystyle i}$ – indeks pierwszego, nieprzetworzonego symbolu w ${\displaystyle S}$).
3. Dopóki ${\displaystyle i<n,}$ wykonuj:
   1. Wyszukaj w słowniku najdłuższy podciąg równy początkowi nieprzetworzonych jeszcze symboli (podciąg ${\displaystyle S[i\ldots ]}$).
      • Jeśli udało się znaleźć taki podciąg, to wynikiem wyszukiwania jest jego indeks ${\displaystyle k}$ w słowniku; dodatkowo słowo wskazywane przez ten indeks ma pewną długość ${\displaystyle m.}$ Na wyjście wypisz parę (indeks, pierwszy niedopasowany symbol), czyli (${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle S[i+m]}$) oraz dodaj do słownika znaleziony podciąg przedłużony o symbol ${\displaystyle S[i+m]}$ (innymi słowy podciąg ${\displaystyle S[i\ldots i+m]}$). Zwiększ ${\displaystyle i:=i+m.}$
      • Jeśli nie udało się znaleźć żadnego podciągu, to znaczy, że w słowniku nie ma jeszcze symbolu ${\displaystyle S[i].}$ Wówczas do słownika dodawany jest ten symbol, a na wyjście wypisywana para (${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle S[i]}$). Indeks 0 jest tutaj umowny, w ogólnym przypadku chodzi o jakąś wyróżnioną liczbę. Zwiększ ${\displaystyle i}$ o jeden.

W praktycznych realizacjach słownik ma jednak ograniczoną wielkość – koder (i dekoder) różnie reaguje na fakt przepełnienia słownika; słownik może być:

• zerowany;
• dodawanie nowych słów zostaje wstrzymane;
• usuwane są te słowa, które zostały dodane najwcześniej;
• usuwane są te słowa, które występowały najrzadziej.

W uniksowym programie compress dodawanie słów zostaje wstrzymane, ale gdy współczynnik kompresji spadnie poniżej określonego poziomu, słownik jest zerowany.

Algorytm dekompresji

1. Wyczyść słownik.
2. Dla wszystkich par (indeks, symbol – ozn. ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle s}$) wykonuj:
   1. Jeśli ${\displaystyle k=0,}$ dodaj symbol ${\displaystyle s}$ do słownika. Na wyjście wypisz symbol ${\displaystyle s.}$
   2. Jeśli ${\displaystyle k>0,}$ weź ze słownika słowo ${\displaystyle w}$ spod indeksu ${\displaystyle k.}$ Na wyjście wypisz słowo ${\displaystyle w}$ oraz symbol ${\displaystyle s.}$ Do słownika pod kolejnym indeksem dodaj słowo ${\displaystyle w+s.}$

Modyfikacje algorytmu

Metoda LZ78 na przestrzeni lat była ulepszana, oto lista najbardziej znaczących modyfikacji:

• LZW (Terry Welch, 1984), LZC (1985) – praktyczna implementacja LZW
• LZJ (Matti Jakobson, 1985)
• LZT (J. Tischer, 1987), modyfikacja LZW
• LZMW (1985), LZAP (1988) – modyfikacja LZW

Przykład kompresji

Zostanie skompresowany ciąg: abbbcaabbcbbcaaac.

wejście	wyjście	SŁOWNIK		komentarz
		indeks	słowo
a	(0,a)	1	a	w słowniku nie ma symbolu a
b	(0,b)	2	b	w słowniku nie ma symbolu b
bb	(2,b)	3	bb	w słowniku jest ciąg b (indeks 2), nie ma natomiast bb; na wyjście zapisywana jest para (istniejące słowo, symbol), a do słownika dodawane nowe słowo bb
c	(0,c)	4	c	w słowniku nie ma symbolu c
aa	(1,a)	5	aa	w słowniku jest ciąg a (indeks 1), nie ma natomiast aa; na wyjście zapisywana jest para (istniejące słowo, symbol), a do słownika dodawane nowe słowo aa
bbc	(3,c)	6	bbc	w słowniku jest ciąg bb (indeks 3), nie ma natomiast bbc; na wyjście zapisywana jest para (istniejące słowo, symbol), a do słownika dodawane nowe słowo bbc
bbca	(6,a)	7	bbca	w słowniku jest ciąg bbc (indeks 6), nie ma natomiast bbca; na wyjście zapisywana jest para (istniejące słowo, symbol), a do słownika dodawane nowe słowo bbca
aac	(5,c)	8	aac	w słowniku jest ciąg aa (indeks 5), nie ma natomiast aac; na wyjście zapisywana jest para (istniejące słowo, symbol), a do słownika dodawane nowe słowo aac

Można zauważyć, że do słownika dodawane są coraz dłuższe słowa.

Przykład dekompresji

Zostaną zdekompresowane dane z poprzedniego przykładu.

wejście	wyjście	SŁOWNIK		komentarz
		indeks	słowo
(0,a)	a	1	a	symbol a jest wyprowadzany na wyjście, do słownika jest dodawany ciąg jednoelementowy a
(0,b)	b	2	b	symbol b jest wyprowadzany na wyjście, do słownika jest dodawany ciąg jednoelementowy b
(2,b)	bb	3	bb	na wyjście wypisywane jest słowo b ze słownika (indeks 2), wypisywany jest także symbol b; do słownika dodawany jest nowy ciąg będący sklejeniem słowa 2. i symbolu: bb
(0,c)	c	4	c	symbol c jest wyprowadzany na wyjście, do słownika jest dodawany ciąg jednoelementowy c
(1,a)	aa	5	aa	na wyjście wypisywane jest słowo a ze słownika (indeks 1), wypisywany jest także symbol a; do słownika dodawany jest nowy ciąg będący sklejeniem słowa 1. i symbolu: aa
(3,c)	bbc	6	bbc	na wyjście wypisywane jest słowo bb ze słownika (indeks 3), wypisywany jest także symbol c; do słownika dodawany jest nowy ciąg będący sklejeniem słowa 2. i symbolu: bbc
(6,a)	bbca	7	bbca	na wyjście wypisywane jest słowo bbc ze słownika (indeks 6), wypisywany jest także symbol a; do słownika dodawany jest nowy ciąg będący sklejeniem słowa 6. i symbolu: bbca
(5,c)	aac	8	aac	na wyjście wypisywane jest słowo aa ze słownika (indeks 5), wypisywany jest także symbol c; do słownika dodawany jest nowy ciąg będący sklejeniem słowa 5. i symbolu: aac

Przykładowy program

Poniższy program napisany w języku Python koduje dane metodą LZ78 (LZ78_encode), a następnie dekoduje (LZ78_decode) i na końcu stwierdza, czy proces kodowania i dekodowania przebiegł prawidłowo, wyświetlając przy okazji podsumowanie.

Przykładowe wynik działania programu, gdy kompresji zostało poddane źródło artykułu Python:

$ python LZ78.py python-artykul.txt
Liczba par: 6295
Maks. liczba bitów potrzebna do zapisania kodu: 13
Maks. liczba bitów potrzebna do zapisania pary: 13 + 8 = 21
Rozmiar danych wejściowych: 23805 bajtów
Rozmiar danych skompresowanych: 16525 bajtów
Stopień kompresji: 30.58%

Uwaga: stopień kompresji zależy również od sposobu zapisu kodów – w tym programie do obliczeń rozmiaru danych skompresowanych i stopnia kompresji założono, że każdy kod zajmuje stałą liczbę bitów. W praktycznych aplikacjach rozwiązania mogą być inne.

# -*- coding: iso-8859-2 -*-

def LZ78_encode(data):
        D = {}
        n = 1
        c = ''
        result = []
        for s in data:
                if c + s not in D:
                        if c == '':
                                # specjalny przypadek: symbol 's'
                                # nie występuje jeszcze w słowniku
                                result.append( (0, s) )
                                D[s] = n
                        else:
                                # ciąg 'c' jest w słowniku
                                result.append( (D[c], s) )
                                D[c + s] = n
                        n = n + 1
                        c = ''
                else:
                        c = c + s

        return result

def LZ78_decode(data):
        D = {}
        n = 1

        result = []
        for i, s in data:
                if i == 0:
                        result.append(s)
                        D[n] = s
                        n = n + 1
                else:
                        result.append(D[i] + s)
                        D[n] = D[i] + s
                        n = n + 1

        return ''.join(result)

if __name__ == '__main__':
        import sys
        from math import log, ceil

        if len(sys.argv) < 2:
                print "Podaj nazwę pliku"
                sys.exit(1)

        data = open(sys.argv[1]).read()
        comp = LZ78_encode(data)
        decomp = LZ78_decode(comp)

        if data == decomp:
                k = len(comp)
                n = int(ceil(log(max(index for index, symbol in comp), 2.0)))

                l1 = len(data)
                l2 = (k*(n+8) + 7)/8

                print "Liczba par: %d" % k
                print "Maks. liczba bitów potrzebna do zapisania kodu: %d" % n
                print "Maks. liczba bitów potrzebna do zapisania pary: %d + %d = %d" % (n, 8, n+8)
                print "Rozmiar danych wejściowych: %d bajtów" % l1
                print "Rozmiar danych skompresowanych: %d bajtów" % l2
                print "Stopień kompresji: %.2f%%" % (100.0*(l1-l2)/l1)
                # print data
                # print decomp
        else:
                print "Wystąpił jakiś błąd!"

Zobacz też

• LZ77
• LZSS
• LZW
• Sequitur

Bibliografia

• Adam Drozdek: Wprowadzenie do kompresji danych. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1999. ISBN 83-204-2303-1. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Jacob Ziv, Abraham Lempel; Compression of Individual Sequences Via Variable-Rate Coding, IEEE Transactions on Information Theory, September 1978.