Loading AI tools
moce zbiorów skończonych lub niepustych skończonych; liczby bez części ułamkowej, nieujemne lub dodatnie Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Liczby naturalne – podstawowy typ liczb, rozumiany dwojako[1][2]:
Liczby te opisują liczności i kolejności, przez co odpowiadają liczebnikom głównym i porządkowym. Dodatnie liczby naturalne są używane przez ludzi od prehistorii i częściowo też przez inne gatunki zwierząt[3], a do ich zapisu wprowadzono cyfry. Czasy historyczne przyniosły dalszy rozwój matematyki, w tym rozumienia liczb naturalnych:
Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznacza się symbolem [1]. Jest przedmiotem badań różnych działów matematyki jak arytmetyka – elementarna, wyższa i modularna – oraz kombinatoryka, inne obszary matematyki dyskretnej, algebra i metamatematyka. Liczbami naturalnymi definiuje się inne struktury jak:
Termin liczby naturalne pojawił się w pewnej postaci w XV wieku, a w XVIII wieku stał się powszechny, występując m.in. w Encyklopedii Britannica[7]. Najpóźniej w XIX wieku pojawiło się włączanie zera do tego zbioru[7]. Odtąd wśród matematyków występują różne konwencje[8]:
Oprócz symbolu stosuje się też inne, bardziej jednoznaczne[14]:
Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych, choć proste, zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peana), które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych:
Z ostatniej własności wynika, że każda liczba naturalna jest albo zerem, albo następnikiem pewnej liczby naturalnej.
Gdyby w powyższej wersji aksjomatyki Peana zamienić 0 przez dowolny inny symbol (różny od S), to zmiana byłaby czysto formalna, nic istotnie nie zmieniłoby się. W szczególności można zamiast 0 napisać 1. Zauważmy, że aksjomaty Peana nic nie mówią o operacjach arytmetycznych takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie itd., ani też nie wspominają uporządkowania (relacji ). Definiują tylko operację następnika, S. Pozostałe pojęcia trzeba dopiero zdefiniować w terminach S. Okazuje się to możliwe. Poniżej, dwa warunki definiują dodawanie, dla którego 0 gra rolę elementu neutralnego (pierwszy warunek w definicji: ).
Dodawanie definiujemy jako operację spełniającą następujące warunki:
To wystarczy do wyliczenia sumy liczb, np. obliczając (dwa oznacza skrótowy zapis liczby S(S(0))), kolejno otrzymujemy:
Podobnie definiujemy mnożenie jako operację spełniającą warunki:
W wersji liczb naturalnych wykluczającej 0, pierwszy aksjomat mnożenia byłby zastąpiony przez warunek:
Powyższe postulaty mówią, jakie własności mają liczby naturalne, z definicji. W ramach teorii mnogości zbiór liczb naturalnych, spełniający aksjomaty Peana, można skonstruować na wiele sposobów. Szczególnie popularna jest konstrukcja von Neumanna (patrz niżej).
Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda Russella[15], definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych.
Jest to przykład eleganckiej konstrukcji zbioru liczb naturalnych w ramach teorii mnogości, podanej przez węgierskiego matematyka Johna von Neumanna – nie jedynej, ale jednej z ważniejszych:
Niech X – zbiór induktywny.
Niech Przecięcie jest zbiorem induktywnym (dowód przy aksjomacie nieskończoności), zawartym w każdym innym induktywnym:
Korzystając z induktywności
Tak skonstruowany zbiór liczb naturalnych spełnia aksjomaty Peana.
Tak więc w modelu von Neumanna (i na ogół w teorii mnogości) za każdą liczbę naturalną uważamy zbiór składający się ze wszystkich poprzednich liczb naturalnych, np. itd.
Liczby naturalne to podstawowy przykład zbioru nieskończonego – jest on równoliczny z częścią swoich podzbiorów właściwych. Moc tego zbioru nazywa się alef zero i oznacza jest to najmniejsza nieskończona liczba kardynalna. Zbiory tej mocy nazywa się przeliczalnymi[5], przy czym czasem to pojęcie obejmuje też zbiory skończone[6].
Dla dowolnych liczb naturalnych
W zbiorze liczb naturalnych definiuje się szereg działań jak:
Przez to w algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby naturalne tworzą struktury algebraiczne:
Niektóre pary liczb naturalnych można też odejmować i dzielić, jednak wynik może nie być liczbą naturalną. Przez to mówi się, że działania te nie są wewnętrzne w tym zbiorze lub że nie jest on na nie zamknięty – nie są to działania na liczbach naturalnych w sensie algebry abstrakcyjnej[20][21].
Każda liczba naturalna:
Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się starożytnym Grekom: Pitagorasowi, Euklidesowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej.
Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona.
Choć wydawałoby się, że liczby naturalne są podstawowym pojęciem matematycznym i ich definicja była jedną z wcześniejszych, to jednak jest inaczej. Przykładowo bardziej skomplikowane liczby rzeczywiste (używane już w starożytności przez Eudoksosa, ok. 408 – ok. 355 p.n.e.) zostały zdefiniowane formalnie przez Dedekinda w połowie XIX w, podczas gdy definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w.
Pierwotnie zero było wykorzystywane jako pomoc w oznaczeniu „pustego miejsca”. Już w VII w. p.n.e. Babilończycy stosowali zero jako cyfrę w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie jako liczba. W cywilizacji Majów zero było znane jako liczba już w I w. p.n.e. (być może znali je już w IV wieku p.n.e. wchłonięci przez Majów Olmekowie). W kulturze zachodniej zero, jako oddzielna, pełnoprawna wartość, pojawiło się znacznie później.
W roku 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, pierwsze wzmianki pochodzą z roku 628. Zero stosowano niekonsekwentnie również w średniowieczu, nie miało ono jednak swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich – stosowano łacińskie słowo nullae.
W filozofii matematyki najpóźniej w XIX wieku powstała doktryna finityzmu, według której są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka[potrzebny przypis]. Słynne jest stwierdzenie Leopolda Kroneckera, propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki: Liczby naturalne stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka[potrzebny przypis].
Wśród liczb całkowitych można wyróżnić podzbiór izomorficzny ze zbiorem liczb naturalnych. Innymi słowy istnieje podzbiór – z odziedziczonymi działaniami dodawania i mnożenia – spełniający aksjomaty Peana. To samo dotyczy dalszych uogólnień liczb całkowitych.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
