Metoda Simpsona

Całkowanie metodą Simpsona – jedna z metod przybliżania wartości całki oznaczonej funkcji rzeczywistej.

Funkcja ${\displaystyle f(x)}$ (niebieska) jest przybliżana funkcją kwadratową ${\displaystyle P(x)}$ (czerwona) gdzie:
${\displaystyle f(a)=f(x_{0})=y_{0},}$ ${\displaystyle f(m)=f(x_{1})=y_{1},}$
${\displaystyle f(b)=f(x_{2})=y_{2}.}$

Metoda ma zastosowanie do funkcji stablicowanych w nieparzystej liczbie równo odległych punktów (wliczając końce przedziału całkowania). Metoda opiera się na przybliżaniu funkcji całkowanej przez interpolację wielomianem drugiego stopnia.

Znając wartości ${\displaystyle y_{0},y_{1},y_{2}}$ funkcji ${\displaystyle f(x)}$ w 3 punktach ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2}}$ (przy czym ${\displaystyle x_{2}-x_{1}=x_{1}-x_{0}=h}$), przybliża się funkcję wielomianem Lagrange’a i całkując w przedziale ${\displaystyle [x_{0},x_{2}],}$ otrzymuje przybliżoną wartość całki:

${\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x_{2}}f(x)dx\approx {\frac {h}{3}}(y_{0}+4y_{1}+y_{2}).}$

Błąd, który przy tym popełniamy, jest równy: ${\displaystyle R={\frac {1}{90}}h^{5}|f^{(4)}(c)|,}$

gdzie:

${\displaystyle c\in [x_{0};x_{2}].}$

Nie znamy położenia punktu ${\displaystyle c,}$ więc posługujemy się poniższym szacowaniem, mającym zastosowanie w obliczeniach numerycznych:

${\displaystyle R\leqslant {\frac {1}{90}}h^{5}\max _{x\in [x_{0};x_{2}]}|f^{(4)}(x)|.}$

Znając wartości funkcji w ${\displaystyle 2k+1}$ kolejnych, równo odległych punktach ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots x_{n}}$ (gdzie ${\displaystyle n=2k}$), możemy iterować powyższy wzór na ${\displaystyle k}$ przedziałów:

${\displaystyle \int \limits _{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx\approx {\frac {h}{3}}(y_{2i-2}+4y_{2i-1}+y_{2i}),\quad i=1,2,\dots k,\quad k={\frac {n}{2}},}$

Ilustracja złożonej reguły Simpsona

otrzymując:

${\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x_{n}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{k}\int \limits _{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx\approx {\frac {h}{3}}\left(y_{0}+4\sum _{i=1}^{k}y_{2i-1}+2\sum _{i=1}^{k-1}y_{2i}+y_{n}\right).}$

Wartość błędu, jakim są obarczone wyliczenia, wyraża się wzorem:

${\displaystyle R\leqslant {\frac {1}{180}}(x_{n}-x_{0})h^{4}\max _{x\in [x_{0};x_{n}]}|f^{(4)}(x)|.}$

By czytelnik mógł go odnieść do rysunku:

${\displaystyle x_{n}=b;}$ ${\displaystyle f(x_{n})=y_{n},}$

${\displaystyle x_{0}=a;}$ ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}.}$

Geometrycznie metoda ta odpowiada zastąpieniu w każdym z kolejnych ${\displaystyle k}$ przedziałów zmiennej ${\displaystyle x}$ łuku wykresu funkcji ${\displaystyle y>=f(x)}$ łukiem paraboli przeprowadzonej przez trzy kolejne węzły interpolacji (punkty wykresu o znanych współrzędnych) odpowiadające początkowi, środkowi i końcowi kolejnego przedziału.

Zobacz też

• metody Newtona-Cotesa

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Simpson's Rule, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-09-23].
• Simpson formula (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-09-23].

Encyklopedie internetowe (pojęcie matematyczne):

• DSDE: Simpsons_formel, Keplers_tønderegel