Negacja

Negacja (z łac. negatio^[3]), zaprzeczenie – pojęcie logiki i językoznawstwa o kilku znaczeniach:

• działanie jednoargumentowe na zbiorze zdań (funktor zdaniotwórczy), które każdemu zdaniu p przypisuje zdanie nie p^[4][5];
• wynik tego działania, tj. wartość funktora – zdanie mające postać nieprawda, że p, gdzie p jest zdaniem;
• odpowiednią funkcję na zbiorze wartości logicznych;
• odpowiedni funktor na zbiorze nazw^[6].

Symbole negacji^[1][2]

autorzy	zapis
Heyting	${\displaystyle \neg p}$
Schröder Peirce	${\displaystyle p'}$
Peano Russell	${\displaystyle \sim p}$
Hilbert	${\displaystyle {\overline {p}}}$
Łukasiewicz	${\displaystyle Np}$

W logice formalnej, np. rachunku zdań, negacja ma różne zapisy:

• osobny symbol ${\displaystyle (\neg p),}$
• tylda ${\displaystyle (\sim p),}$
• prim ${\displaystyle (p'),}$
• makron ${\displaystyle ({\overline {p}}).}$

Odczytuje się to nieprawda, że p^[7] lub nie jest tak, że p^[8]. Inny symbol negacji – zwłaszcza jako funkcji boolowskiej i bramki logicznej – to angielska partykuła NOT.

Definicja w logice dwuwartościowej

Tablica prawdy dla negacji^[5]

${\displaystyle p}$	${\displaystyle \neg p}$
0	1
1	0

Niech ${\displaystyle \mathbb {B} }$ będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: ${\displaystyle \mathbb {B} =\{0,1\}.}$ Negacja ${\displaystyle \neg \,:\mathbb {B} \to \mathbb {B} }$ jest funkcją ze zbioru ${\displaystyle \mathbb {B} }$ w zbiór ${\displaystyle \mathbb {B} ,}$ określoną następująco:

${\displaystyle \neg \,p=1-p}$^[9],

czyli

${\displaystyle \neg \,0=1}$

${\displaystyle \neg \,1=0}$^[10].

Negację zdania p uważa się za prawdziwą, gdy zdanie p jest fałszywe, zaś za fałszywą, gdy zdanie p jest prawdziwe^[10][5][11]:

1 – prawda (lub zdanie prawdziwe),

0 – fałsz (lub zdanie fałszywe).

Własności

W klasycznym rachunku zdań negacja pojawia się w szeregu tautologii, tj. formuł prawdziwych zawsze, bez względu na prawdziwość zdań składowych. Odpowiadają im pewne tożsamości opisujące dopełnienie zbioru.

Zasada niesprzeczności

Zasada niesprzeczności (zwana także zasadą sprzeczności^[12]) głosi, że z dwóch zdań sprzecznych najwyżej jedno jest prawdziwe^[13] (lub równoważnie, co najmniej jedno jest fałszywe^[14]):

${\displaystyle \neg (p\,\land \,\neg \,p)}$^[13][14],

gdzie ${\displaystyle \land }$ jest znakiem koniunkcji (oznacza spójnik ‘i’).

Przykład:

• Niech ${\displaystyle p}$ będzie zdaniem Mam ciastko.
• Wówczas ${\displaystyle \neg \,p}$ ma postać: Nie mam ciastka.
• Ich koniunkcja ${\displaystyle p\,\land \,\neg \,p}$ to Mam ciastko i nie mam ciastka (jest to zdanie fałszywe).
• Zaprzeczenie tej koniunkcji ${\displaystyle \neg (p\,\land \,\neg \,p)}$ (Nieprawda, że mam ciastko i nie mam ciastka) jest zdaniem prawdziwym.

Prawo wyłączonego środka

Zasada wyłączonego środka mówi, że z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest prawdziwe^[12]:

${\displaystyle p\,\lor \,\neg \,p}$^[15][14],

gdzie ${\displaystyle \lor }$ jest znakiem alternatywy (oznacza spójnik lub).

Przykład:

• Niech zdanie ${\displaystyle p}$ ma postać: Jutro będzie padał deszcz.
• Wówczas ${\displaystyle \neg \,p}$ to Jutro nie będzie padał deszcz.
• Jedno z nich jest prawdziwe (możemy nie wiedzieć które).
• Ich alternatywa ${\displaystyle p\,\lor \,\neg \,p}$ (Jutro będzie padał deszcz lub jutro nie będzie padał deszcz) jest zawsze prawdziwa.

Prawo podwójnego przeczenia

Złożenie dwóch negacji jest równoważne wyjściowemu zdaniu^[15]:

${\displaystyle \neg \,(\neg \,p)\Leftrightarrow p.}$

Podwójne przeczenie się znosi, lub po łacinie: duplex negatio affirmat, tzn. podwójne przeczenie, to tyle co twierdzenie^[12].

Przykład:

• Niech zdanie ${\displaystyle p}$ oznacza: Warszawa jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe).
• Wówczas ${\displaystyle \neg \,p}$ ma postać: Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie fałszywe).
• Natomiast ${\displaystyle \neg \,(\neg \,p)}$ można zapisać: Nieprawda, że Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe i równoważne zdaniu ${\displaystyle p}$).

Inne

Negację zawierają też prawo kontrapozycji i prawa De Morgana.

Zobacz też

Zobacz podręcznik w Wikibooks: Logika dla prawników – Negacja

Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceum – Logika

Zobacz hasło negacja w Wikisłowniku

• algebra Boole’a
• bramka NOT
• kwantyfikator