Pierścień endomorfizmów

Pierścień endomorfizmów – pierścień skojarzony z pewnym rodzajem obiektów, który zawiera pewną informację o jego własnościach wewnętrznych.

Grupy abelowe

Niech ${\displaystyle (A,+)}$ będzie grupą abelową. Zgodnie z nazwą, elementami pierścienia endomorfizmów grupy ${\displaystyle A}$ są endomorfizmy określone na ${\displaystyle A,}$ tzn. homomorfizmy grupowe ${\displaystyle A\to A.}$ Każde dwa takie endomorfizmy ${\displaystyle f}$ oraz ${\displaystyle g}$ mogą być dodawane (zgodnie z wzorem ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$), a ich wynik, ${\displaystyle f+g,}$ również jest endomorfizmem ${\displaystyle A.}$ Co więcej, ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ mogą być składane, dając tym samym endomorfizm ${\displaystyle f\circ g.}$ Zbiór wszystkich endomorfizmów ${\displaystyle A}$ wraz ze wspomnianym dodawaniem i mnożeniem (danym jako składanie) spełnia aksjomaty pierścienia; jego jedynką jest przekształcenie tożsamościowe na ${\displaystyle A.}$ Pierścienie endomorfizmów zwykle nie są przemienne.

Uwaga

Powyższa konstrukcja nie działa dla grup nieabelowych: suma dwóch homomorfizmów nie musi być wówczas homomorfizmem^[1]

Moduły i przestrzenie liniowe

Definicja pierścienia endomorfizmów wygląda identycznie dla dowolnego modułu – zamiast homomorfizmów grupowych należy jedynie wykorzystać homomorfizmy modułów. Każdy pierścień jest pierścieniem endomorfizmów pewnego modułu (regularnego^[2], ang. regular). Odwrotnie, ${\displaystyle R}$-moduł ${\displaystyle M}$ jest niczym innym, jak homomorfizmem pierścienia ${\displaystyle R}$ w pierścień endomorfizmów grupy addytywnej ${\displaystyle M.}$

Jeżeli ${\displaystyle K^{n}}$ jest przestrzeń liniową nad ciałem ${\displaystyle K,}$ to pierścień endomorfizmów ${\displaystyle K^{n}}$ (składający się ze wszystkich ${\displaystyle K}$-przekształceń liniowych ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$) utożsamia się w naturalny sposób z pierścieniem macierzy typu ${\displaystyle n\times n}$ o elementach z ${\displaystyle K}$^[3] (zob. macierz).

Teoria kategorii

W ogólności pierścienie endomorfizmów można definiować dla obiektów dowolnej kategorii preaddytywnej. Warto wspomnieć, że możliwe jest zdefiniowanie w naturalny sposób funktora z kategorii grup abelowych ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ w kategorię pierścieni ${\displaystyle \mathbf {Ring} }$ za pomocą pojęcia pierścienia endomorfizmów.

Własności

• Pierścień endomorfizmów grupy abelowej jest trywialny wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniana grupa jest trywialna.

Często możliwe jest wyrażenie własności obiektów za pomocą własności jego pierścienia endomorfizmów, np.:

• jeżeli moduł jest prosty, to jego pierścień endomorfizmów jest pierścieniem z dzieleniem (wynik znany jako lemat Schura)^[4];
• moduł jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień endomorfizmów nie zawiera żadnych nietrywialnych idempotentów^[5]. Nierozkładalność i silna nierozkładalność są częstokroć definiowane za pomocą odpowiednich własności skojarzonego z nimi pierścienia endomorfizmów.

Przypisy

1. David Dummitt i Richard Foote, Algebra, s. 347.
2. Moduł jest regularny, jeżeli dla skończenie generowanego podmodułu ${\displaystyle N}$ istnieje homomorfizm ${\displaystyle \alpha \colon M\to N}$ taki, że ${\displaystyle \alpha ^{2}=\alpha ,}$ ${\displaystyle \operatorname {im} \;\alpha }$ jest projektywny i ${\displaystyle (1-\alpha )N=0.}$
3. Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994. s. 23–24.
4. Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 31.
5. Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 25.