Pierścień ilorazowy

Pierścień ilorazowy – pierścień zdefiniowany na klasach abstrakcji w zbiorze elementów wyjściowego pierścienia, w którym określono pewną relację równoważności elementów względem pewnego ideału tego pierścienia. Pojęcie analogiczne do grupy ilorazowej.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle Q}$ będzie ideałem pierścienia ${\displaystyle S.}$ Relacja ${\displaystyle \mathrm {R} _{Q}\subset S\times S}$ określona: ${\displaystyle a\mathrm {R} _{Q}b\iff a-b\in Q}$ jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu ${\displaystyle S.}$ Zbiór ilorazowy ${\displaystyle S/\mathrm {R} _{Q}}$ z określonymi w nim działaniami:

• ${\displaystyle [a]+[b]=[a+b],}$
• ${\displaystyle [a][b]=[ab],}$

jest pierścieniem. Pierścień ten oznaczamy przez ${\displaystyle S/Q}$ i nazywamy pierścieniem ilorazowym pierścienia ${\displaystyle S}$ przez ideał ${\displaystyle Q.}$

Można wykazać, że dowolna relacja ${\displaystyle \mathrm {R} \subset S\times S}$ jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu ${\displaystyle S}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczna z wyżej określoną relacją ${\displaystyle \mathrm {R} _{Q}}$ dla pewnego ideału ${\displaystyle Q.}$

Własności

Niech S będzie dowolnym pierścieniem, zaś Q dowolnym jego ideałem.

• Jeśli S jest przemienny, to S/Q jest przemienny.
• Jeśli S posiada jedynkę, to S/Q posiada jedynkę. Jest nią klasa abstrakcji [1].
• S/Q nie posiada dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest ideałem pierwszym.
• Jeżeli S jest pierścieniem z jedynką i S/Q jest pierścieniem z dzieleniem, Q jest ideałem maksymalnym. Jeżeli S jest dodatkowo przemienny prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne (S/Q jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy Q jest ideałem maksymalnym)