Podciąg (matematyka)

Podciąg – ciąg powstały poprzez wybranie pewnej liczby – skończonej lub nie – wyrazów ciągu wyjściowego^[1]. Odpowiednikiem podciągów dla ciągów uogólnionych są subtelniejsze ciągi uogólnione.

Ważnym twierdzeniem dotyczącym podciągów jest twierdzenie Bolzana-Weierstrassa, którego konsekwencją jest (ciągowa) zwartość ograniczonych i domkniętych podzbiorów prostej rzeczywistej.

Definicja

Niech ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ będzie ciągiem elementów zbioru ${\displaystyle X}$ oraz niech ${\displaystyle (k_{i})_{i\in I}}$ będzie silnie rosnącym ciągiem w zbiorze indeksowym ${\displaystyle I}$ (będącym dowolnym podzbiorem liczb naturalnych, zwykle przyjmuje się, że ${\displaystyle I}$ zawiera kolejne liczby naturalne). Wówczas ciąg ${\displaystyle (a_{k_{i}})_{i\in I}}$ nazywa się podciągiem ciągu ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}.}$

Przykład

Ciąg ${\displaystyle ABD}$ jest podciągiem ${\displaystyle ABCDEFG.}$