Podgrupa

Podgrupa – zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

Podgrupy to te z podzbiorów grup, które odzwierciedlają i zachowują ich strukturę algebraiczną; badanie podgrup danej grupy (nazywanej czasem w tym kontekście nadgrupą) dostarcza o niej wielu istotnych informacji, umożliwiając głębsze zrozumienie jej budowy. Niekiedy podgrupy wkomponowane są w grupę w szczególny sposób: są niezmiennikami przekształceń algebraicznych (podgrupa normalna, podgrupa charakterystyczna), umożliwiają jednoznaczne przedstawienie elementu grupy jako sumy/iloczynu elementów ich „rozłącznych”^[a] podgrup (składnik/czynnik prosty, zob. suma prosta/iloczyn prosty podgrup); w teorii grup przemiennych rozpatruje się podgrupy czyste oraz podgrupy istotne^[b] o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach).

Charakteryzacje

Zobacz też: grupa i podzbiór.

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą; podzbiór ${\displaystyle H\subseteq G,}$ który tworzy grupę ze względu na działanie określone na ${\displaystyle G,}$ nazywa się podgrupą grupy ${\displaystyle G}$ i oznacza zwykle ${\displaystyle H\leqslant G}$^[c]. Podgrupę ${\displaystyle H}$ jako grupę charakteryzują następujące warunki:

• Wewnętrzność: działanie grupowe na ${\displaystyle H}$ jest zawężeniem działania grupy ${\displaystyle G}$ do zbioru ${\displaystyle H;}$ dlatego iloczyn elementów ${\displaystyle a,b\in H}$ obliczany jest jako iloczyn elementów ${\displaystyle a}$ oraz ${\displaystyle b}$ w grupie ${\displaystyle G;}$ aby uzyskać dwuargumentowe działanie wewnętrzne na ${\displaystyle H}$ dane wzorem ${\displaystyle (a,b)\mapsto ab}$ tak jak w grupie ${\displaystyle G}$ potrzeba, a zarazem wystarcza, by ${\displaystyle ab\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H.}$ Innymi słowy zbiór ${\displaystyle H}$ musi być zamknięty ze względu na działanie w ${\displaystyle G.}$
• Łączność: działanie w ${\displaystyle H}$ musi być łączne, czyli dla wszystkich ${\displaystyle a,b,c\in H}$ musi zachodzić ${\displaystyle (ab)c=a(bc);}$ wiadomo jednak, że ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$ dla ${\displaystyle a,b,c\in G,}$ a ponieważ ${\displaystyle H\subseteq G,}$ to powyższy warunek odnosi się w szczególności do elementów ${\displaystyle a,b,c\in H;}$ w ten sposób łączność działania w ${\displaystyle H}$ dana jest z góry (tzn. wynika wprost z łączności działania w ${\displaystyle G}$).
• Element neutralny: zbiór ${\displaystyle H}$ nie może być pusty, gdyż jako grupa ${\displaystyle H}$ musi mieć element neutralny; niech ${\displaystyle e\in H}$ spełnia ${\displaystyle ae=a}$ dla dowolnego ${\displaystyle a\in H;}$ w szczególności dla elementu neutralnego ${\displaystyle e}$ grupy ${\displaystyle H}$ zachodzi ${\displaystyle ee=e,}$ a ponieważ ${\displaystyle e\in H\subseteq G,}$ to z charakteryzacji elementu neutralnego grupy wynika, że ${\displaystyle e}$ jest elementem neutralnym grupy ${\displaystyle G;}$ oznacza to, że element neutralny grupy ${\displaystyle G}$ jest zarazem elementem neutralnym w ${\displaystyle H,}$ o ile tylko należy on do ${\displaystyle H,}$ tzn. nie trzeba szukać elementu neutralnego w ${\displaystyle H,}$ gdyż jest on niejako z góry – wystarczy tylko sprawdzić, czy element neutralny w ${\displaystyle G}$ należy do ${\displaystyle H.}$
• Odwracalność: dla każdego ${\displaystyle a\in H}$ musi istnieć ${\displaystyle x\in H,}$ dla których ${\displaystyle ax=e;}$ odczytanie tego równania w grupie ${\displaystyle G}$ daje natychmiastowo rozwiązanie ${\displaystyle x=a^{-1}}$ w postaci elementu odwrotnego do ${\displaystyle a}$ w grupie ${\displaystyle G;}$ element odwrotny do ${\displaystyle a}$ istnieje w ${\displaystyle G,}$ dlatego nie trzeba go szukać, lecz wystarczy sobie jedynie zapewnić, iż element odwrotny ${\displaystyle a^{-1}}$ do ${\displaystyle a}$ należący do ${\displaystyle G}$ jest również elementem ${\displaystyle H.}$

Podsumowując: niepusty podzbiór ${\displaystyle H}$ grupy ${\displaystyle G}$ jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy

• jest zamknięty na działanie: ${\displaystyle ab\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H;}$
• zawiera element neutralny grupy: ${\displaystyle e\in H;}$
• jest zamknięty na odwracanie: ${\displaystyle a^{-1}\in H}$ dla każdego ${\displaystyle a\in H.}$

Co więcej, drugi warunek wynika z pierwszego i trzeciego: niech ${\displaystyle a\in H}$ (gdyż ${\displaystyle H}$ jest niepusty, ${\displaystyle H\neq \varnothing }$), wtedy z trzeciego warunku ${\displaystyle a^{-1}\in H,}$ a więc ${\displaystyle aa^{-1}\in H}$ na mocy pierwszego, co daje ${\displaystyle e\in H.}$ Innymi słowy sprawdzenie, czy ${\displaystyle e\in H,}$ można pominąć zakładając, iż ${\displaystyle H}$ jest niepusty; z drugiej strony jeśli nie wiadomo a priori, czy ${\displaystyle H\neq \varnothing ,}$ to najszybszym sposobem zapewnienia tego warunku jest właśnie sprawdzenie, czy ${\displaystyle e\in H.}$ Na podstawie powyższych obserwacji można zatem sformułować

Kryterium bycia podgrupą

Niepusty podzbiór ${\displaystyle H}$ grupy ${\displaystyle G}$ jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki

${\displaystyle ab\in H\;\;\quad \mathrm {dla\ wszystkich\ } a,b\in H;}$

oraz

${\displaystyle a^{-1}\in H\quad \mathrm {dla\ ka{\dot {z}}dego\ } a\in H.}$

Powyższe dwa warunki (wraz z ${\displaystyle H\neq \varnothing }$) często łączy się w jeden: ${\displaystyle a^{-1}b\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H}$^[d]; jest on zupełnie równoważny warunkowi ${\displaystyle ab^{-1}\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H}$^[e]. W przypadku skończonym wystarczający jest warunek zamkniętości działania, tzn. prawdziwe jest następujące

Kryterium bycia podgrupą grupy skończonej

Niepusty podzbiór skończony ${\displaystyle H}$ grupy ${\displaystyle G}$ bądź niepusty podzbiór ${\displaystyle H}$ grupy skończonej ${\displaystyle G}$ jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle ab\in H}$ dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in H}$^[f][g].

Przykłady

Podgrupy trywialna i niewłaściwa

Zobacz też: grupa trywialna.

W dowolnej grupie ${\displaystyle G}$ zbiór jednoelementowy ${\displaystyle \{e\}}$ oraz zbiór ${\displaystyle G}$ są podgrupami nazywanymi odpowiednio podgrupą trywialną oraz podgrupą niewłaściwą (podgrupy, które nie są trywialne bądź niewłaściwe, nazywa się odpowiednio nietrywialnymi oraz właściwymi); jeżeli ${\displaystyle H}$ jest podgrupą właściwą w ${\displaystyle G,}$ to czasem używa się oznaczenia ${\displaystyle H<G}$^[h], nietrywialność podgrupy zaznaczana jest osobno. Jeżeli ${\displaystyle H}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G,}$ zaś ${\displaystyle K}$ jest podgrupą w ${\displaystyle H,}$ to ${\displaystyle K}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G.}$

Kryterium bycia podgrupą

Zobacz też: dzielnik, część wspólna i grupa permutacji.

Niech ${\displaystyle 4\mathbb {Z} =\{4z\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}=\{u\in \mathbb {Z} \colon 4\mid u\}}$ będzie podzbiorem liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ podzielnych przez ${\displaystyle 4.}$ Zbiór ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ tworzy grupę ze względu na dodawanie (wprost z konstrukcji), zaś zbiór ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ jest zamknięty ze względu na dodawanie i branie odwrotności^[i], a więc ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ jest podgrupą w ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Analogicznie dowodzi się, że zbiór ${\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nz\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}}$ dla dowolnego ${\displaystyle n}$ będącego liczbą naturalną jest podgrupą w ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ a ponadto wszystkie jej podgrupy mają tę postać.

Zbiór dodatnich liczb wymiernych tworzy podgrupę ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{\times }}$ w grupie ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}$ niezerowych liczb wymiernych z działaniem mnożenia (iloczyn dowolnych dwóch niezerowych liczb wymiernych dalej jest niezerową liczbą wymierną i podobnie odwrotność niezerowej liczby wymiernej jest niezerową liczbą wymierną), co wynika wprost z własności iloczynu i odwrotności liczb wymiernych: jeśli ${\displaystyle a,b>0,}$ to ${\displaystyle ab>0}$ oraz ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}>0;}$ podobne obserwacje dotyczą liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (należy wyżej zastąpić ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ znakiem ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i wyraz „wymierny” za pomocą „rzeczywisty”).

Jeżeli ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ są podgrupami w ${\displaystyle G,}$ to ich część wspólna ${\displaystyle H_{1}\cap H_{2}}$ również jest podgrupą w ${\displaystyle G}$^[j]. Analogicznie część wspólna ${\displaystyle \bigcap \nolimits _{i\in I}H_{i}}$ rodziny ${\displaystyle \{H_{i}\}_{i\in I}}$ podgrup grupy ${\displaystyle G}$ indeksowanej za pomocą pewnego zbioru indeksów ${\displaystyle I}$ również jest podgrupą w ${\displaystyle G.}$

Niech ${\displaystyle S}$ oznacza zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowań przedziału jednostkowego ${\displaystyle [0,1]}$ liczb rzeczywistych; tworzy on grupę ze względu na składanie odwzorowań (zob. grupa: Motywacja). Zbiór ${\displaystyle T=\{f\in S\colon f(0)=0\}}$ jest podgrupą w ${\displaystyle S}$ jako jej niepusty podzbiór zamknięty na składanie i odwracanie funkcji:

• Otóż zbiór ${\displaystyle T}$ jest niepusty, gdyż należy do niego odwzorowanie tożsamościowe ${\displaystyle i\in S}$ dane wzorem ${\displaystyle i(x)=x,}$ dla którego zachodzi ${\displaystyle i(0)=0.}$
• Ponadto jeżeli ${\displaystyle f,g\in T,}$ to ${\displaystyle f(0)=0}$ oraz ${\displaystyle g(0)=0,}$ co oznacza ${\displaystyle (f\circ g)(0)=f(g(0))=f(0)=0,}$