Prosta zagradzająca kąt

Prosta zagradzająca kąt – w geometrii hiperbolicznej^[1] prosta, która jest jednocześnie równoległa do obu ramion kąta^[2].

Prosta ${\displaystyle c}$ zagradzająca kąt ${\displaystyle AOB}$ o ramionach ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b.}$ Jest ona prostopadła do dwusiecznej ${\displaystyle e}$ kąta ${\displaystyle AOB}$ i przechodzi przez punkt ${\displaystyle C.}$

Jeśli dwa promienie wychodzące z jednego punktu są równoległe do pewnej prostej, to prosta ta jest prostą zagradzającą kąt między nimi i na odwrót.

Własności

• Dla każdego kąta wypukłego ${\displaystyle AOB}$ istnieje dokładnie jedna prosta ${\displaystyle c}$ zagradzająca kąt. Prosta ${\displaystyle c}$ leży wewnątrz kąta ${\displaystyle AOB}$ (rysunek obok).

Niech ${\displaystyle 2\alpha =\sphericalangle AOB.}$ Na dwusiecznej ${\displaystyle e}$ kąta ${\displaystyle AOB}$ istnieje taki punkt ${\displaystyle C,}$ że ${\displaystyle \alpha =\Pi (OC),}$ gdzie ${\displaystyle \Pi (OC)}$ jest kątem równoległości odpowiadającym odcinkowi ${\displaystyle OC.}$ Prosta ${\displaystyle c}$ prostopadła do dwusiecznej ${\displaystyle e}$ kąta ${\displaystyle AOB}$ w punkcie ${\displaystyle C}$ jest prostą zagradzającą ten kąt.

• Jeżeli prosta ${\displaystyle M_{1}N_{1}}$ zagradza kąt ${\displaystyle A_{1}OB_{1}}$ o wierzchołku ${\displaystyle O_{1},}$ a prosta ${\displaystyle M_{2}N_{2}}$ zagradza kąt ${\displaystyle A_{2}OB_{2}}$ o wierzchołku ${\displaystyle O_{2}.}$ Wówczas, jeśli kąty ${\displaystyle A_{1}OB_{1}}$ i ${\displaystyle A_{2}OB_{2}}$ są przystające, to odległość punktu ${\displaystyle O_{1}}$ od prostej ${\displaystyle M_{1}N_{1}}$ jest równa odległości punktu ${\displaystyle O_{2}}$ od prostej ${\displaystyle M_{2}N_{2}.}$ Własność ta wynika z przystawania trójkątów podwójnie asymptotycznych ograniczonych ramionami kątów i prostymi je zagradzającymi.

Zobacz też

• defekt trójkąta
• kąt równoległości
• model Poincarégo
• prosta pochyła
• proste nadrównoległe
• punkt w nieskończoności w geometrii hiperbolicznej
• równoległość w geometrii hiperbolicznej
• trójkąt asymptotyczny
• trójkąt podwójnie asymptotyczny
• trójkąt potrójnie asymptotyczny