Przyspieszenie dośrodkowe

Przyspieszenie dośrodkowe, przyspieszenie normalne^[1] – składowa wektora przyspieszenia prostopadła do kierunku prędkości ciała, powstaje na skutek zmian kierunku prędkości i nie powoduje zmiany wartości prędkości^[2].

W dowolnym ruchu krzywoliniowym przyspieszenie normalne ma wartość^[2]:

${\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{\rho }},}$

gdzie:

${\displaystyle \rho }$ – promień krzywizny toru w punkcie, gdzie ciało porusza się z prędkością ${\displaystyle v.}$

W ruchu po okręgu o promieniu ${\displaystyle r}$ przyspieszenie dośrodkowe wynosi:

${\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{r}}.}$

W zapisie wektorowym:

${\displaystyle {\vec {a}}_{n}=-{\frac {v^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {v^{2}}{r}}{\frac {\vec {r}}{r}}=-\omega ^{2}{\vec {r}}}$

lub

${\displaystyle {\vec {a_{\mathrm {n} }}}={\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}).}$

Z własności iloczynu wektorowego oraz prędkości kątowej wynika:

${\displaystyle {\vec {a_{\mathrm {n} }}}={\vec {\omega }}({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}})-|{\vec {\omega }}|^{2}{\vec {r}}=-|{\vec {\omega }}|^{2}{\vec {r}},}$

gdzie:

${\displaystyle v}$ – prędkość w ruchu po okręgu (w układzie SI w m/s),

${\displaystyle r}$ – promień okręgu (w układzie SI w m),

${\displaystyle {\vec {r}}}$ – wektor wodzący o wartości równej promieniowi, jego kierunku i zwrocie od osi obrotu,

${\displaystyle \omega }$ – prędkość kątowa,

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ – jednostkowy wektor o kierunku promienia i zwrocie od osi obrotu.

Dynamika

W dynamice przyspieszenie jest skutkiem działania siły. Przyspieszenie dośrodkowe jest skutkiem działania siły lub jej składowej prostopadłej do wektora prędkości ciała. Kierunek i zwrot tego przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem tej siły.

Zgodnie z II zasadą dynamiki:

${\displaystyle a_{n}={\frac {F_{n}}{m}},}$

gdzie:

${\displaystyle a_{n}}$ – przyspieszenie normalne,

${\displaystyle F_{n}}$ – składowa siły działającej na ciało prostopadła do kierunku ruchu,

${\displaystyle m}$ – masa ciała.

Przykładem jest przyspieszenie wynikające z działania siły grawitacji Słońca na Ziemię lub Ziemi na jej satelitę.