działanie na zbiorach – najszerszy podzbiór jednego zbioru rozłączny z drugim Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Różnica zbiorów i – podzbiór zbioru złożony z tych elementów, które nie należą do oznaczany – ukośnikiem wstecznym[1][2][3], niekiedy także minusem: [4][5][6]. Formalnie[4][5][6]:
co jest równoważne
gdzie jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią[7][8] lub uniwersum[9].
Za pomocą różnicy zbiorów można zdefiniować dwie inne operacje: różnicę symetryczną i dopełnienie zbioru.
Różnica zbiorów:
jest podzbiorem (czyli zbiór zawiera się w ) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica jest zbiorem pustym:
Z inkluzji dwóch par zbiorów można wywnioskować inkluzję pewnych różnic[10][11]:
Za pomocą różnicy można zdefiniować także przekrój (część wspólną) zbiorów:
Różnica zbiorów jest prawostronnie rozdzielna względem sumy zbiorów[13]:
Iloczyn kartezjański jest rozdzielny względem różnicy zbiorów[14]:
Różnica zbiorów nie jest rozdzielna lewostronnie względem sumy ani przekroju zbiorów, ale zachodzą podobne równości, zaliczane do praw De Morgana[10][11]:
W teorii zbiorów i jej zastosowaniach ważną rolę odgrywa tak zwana zasada dualności[15], która jest oparta na dwóch następujących tożsamościach:
Zasada dualności w teorii mnogości polega na tym, że z dowolnej równości, dotyczącej podzbiorów ustalonego zbioru można całkiem automatycznie uzyskać równość dualną, zastępując wszystkie zbiory ich dopełnieniami, sumy – iloczynami, a iloczyny – sumami.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.