Równoważność

Równoważność, ekwiwalencja^[1] – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym, jak i dostatecznym przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...

Ten artykuł dotyczy spójnika logicznego. Zobacz też: artykuł o rodzaju relacji.

Przykłady:

Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy 2 + 2 = 5. (zdanie fałszywe)

Jutro pójdę do kina wtedy i tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda.

tzn. pójdę do kina, jeżeli będzie ładna pogoda oraz jeżeli pójdę do kina, to będzie ładna pogoda.

Spójnik

Równoważność można definiować jako dwuargumentowy funktor zdaniotwórczy (spójnik zdaniowy), którego funkcja prawdziwościowa odpowiada znaczeniu zwrotu …wtedy i tylko wtedy, gdy… Dla danych zdań ${\displaystyle p,q}$ ich równoważność zapisuje się symbolem ${\displaystyle p\leftrightarrow q.}$ Jednym z praw dotyczących spójnika równoważności jest to, że ma on tę samą wartość logiczną, co zdanie

${\displaystyle (p\to q)\land (p\leftarrow q),}$

czyli zdania ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ są równoważne, jeżeli zdanie: „z ${\displaystyle p}$ wynika ${\displaystyle q,}$ a z ${\displaystyle q}$ wynika ${\displaystyle p}$” jest prawdziwe.

Tablica prawdy dla równoważności:

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\leftrightarrow q}$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

gdzie:

1 – zdanie prawdziwe

0 – fałszywe

Identyczność

Zdanie ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ może przyjmować dowolną z dwóch wartości (prawda oraz fałsz). Jednak jeżeli jest ono prawdziwe dla dowolnych wartościowań zmiennych zdaniowych występujących tak w zdaniu ${\displaystyle p,}$ jak i w ${\displaystyle q,}$ to takie zdanie nazywa się tautologią. Wówczas zdania ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ można uważać za tożsame w sensie logicznym. Fakt ten zapisuje się wtedy symbolem ${\displaystyle p\Leftrightarrow q.}$ Zaznaczone w poprzedniej sekcji prawo, iż równoważność jest tożsama koniunkcji dwóch implikacji (materialnych), prostej i przeciwnej, można zapisać następująco:

${\displaystyle (p\leftrightarrow q)\Leftrightarrow [(p\to q)\land (q\to p)].}$

Oczywiście

${\displaystyle (p\Leftrightarrow q)\Leftrightarrow [(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow p)],}$

gdzie ${\displaystyle \Rightarrow }$ oznacza implikację logiczną.

Zobacz też

Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceum – Logika

• algebra Boole’a
• binegacja

Przypisy

1. równoważność, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-11-29].

Encyklopedie internetowe (funkcja boolowska):

• DSDE: biimplikation