dział matematyki badający własności liczb, zwłaszcza naturalnych i innych rzeczywistych Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Teoria liczb – dziedzina matematyki badająca własności niektórych typów liczb[a]. Początkowo analizowała tylko liczby naturalne i wymierne, później rozszerzając zakres o inne liczby rzeczywiste, zwłaszcza algebraiczne[1]. Przynajmniej częściowo jest zaliczana do matematyki dyskretnej[2].
Jest to jedna z najstarszych dziedzin matematyki obok geometrii; obie dyscypliny od starożytności nie przestają na siebie oddziaływać. Rozwój teorii liczb miał też wpływ na inne gałęzie matematyki jak algebra[1] – w tym ogólna algebra przemienna – oraz geometria algebraiczna, analiza zespolona i probabilistyka[3]. Kierunek zastosowań jest też odwrotny: teoria liczb sama skorzystała z osiągnięć algebry, geometrii algebraicznej i probabilistyki[1]. Niektóre z wykorzystywanych metod są zaawansowane jak np. algebra homologiczna[1] i abstrakcyjna analiza harmoniczna[3]. Teoria liczb obfituje w problemy otwarte postawione elementarnie – tj. zrozumiałe dla laików, nawet dla dzieci – ale czekające na rozwiązanie wyjątkowo długo, czasem stulecia. Niektóre z pytań zadanych w XVIII wieku – jak hipoteza Goldbacha i hipoteza prostopadłościanu idealnego – do dzisiaj pozostają bez odpowiedzi. Teorią liczb zajmowali się matematycy zaliczani do najwybitniejszych w historii jak Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss i Bernhard Riemann; wkład w tę dziedzinę nagradzano też najwyższymi zaszczytami w matematyce jak Medal Fieldsa, Nagroda Abela czy Medal Copleya przyznawany także innym naukowcom. Istnieją również nagrody poświęcone tej konkretnej dziedzinie – odpowiednie kategorie Nagrody Cole’a i Nagrody Fermata. Teorię liczb nazywano „królową matematyki”[3][4].
W II połowie XX wieku znaleziono zastosowania tej dyscypliny w kryptologii i fizyce matematycznej, zwłaszcza kwantowej teorii pola, teorii strun oraz teorii kwantowego chaosu[5]. Powstało całe czasopismo naukowe poświęcone związkom teorii liczb z fizyką[6]. Ta dziedzina matematyki wywarła też pewien wpływ na popkulturę; amatorskie badania wielkiego twierdzenia Fermata są motywem powieści młodzieżowej Szatan z siódmej klasy Kornela Makuszyńskiego (1937).
Główne działy teorii liczb to[7]:
Elementarna teoria liczb jest jej najstarszym działem; nie stosuje się w niej metod teorii funkcji analitycznych[11], jednakże w analitycznej teorii liczb stosuje się czasem metody elementarne[11][12]. Do najważniejszych osiągnięć metod elementarnych teorii liczb należą dowody Erdősa i Selberga twierdzenia o dystrybucji liczb pierwszych (ich dowody były niezależne, ale oba oparte na lemacie Selberga)[12]. Teoria liczb zajmuje się również rozwiązywaniem równań w dziedzinie liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, algebraicznych (całkowitych i wymiernych) oraz (od niedawna) liczb p-adycznych[13].
Według Iwańca i Kowalskiego, jako kryterium stosowane do tego, aby dane zagadnienie z teorii liczb można było zakwalifikować do analitycznej teorii liczb jest to, czy wykorzystuje się w nim analizę zespoloną. Zamienne, jako kryterium można również uznać występowanie analizy harmonicznej. Przez długi czas prace z analitycznej teorii liczb wykorzystywały jedynie abelową analizę harmoniczną (dot. grup przemiennych). Współcześnie częściej wykorzystuje się również funkcje automorficzne. Nowe metody wywodzą się m.in. z analizy spektralnej i wyników Maassa czy Selberga[11].
Geometryczna teoria liczb korzysta z geometrii do badania liczb algebraicznych. Pierścień algebraicznych liczb całkowitych utożsamia się ze zbiorem punktów kratowych w [14]. Pierwsze prace z tej dziedziny zostały napisane przez Hermanna Minkowskiego[15].
Probabilistyczna teoria liczb korzysta z metod probabilistycznych do analizy zagadnień teorii liczb[16]. W szczególności, jest to np. centralne twierdzenie graniczne[17]. Przykładowo, Soundararajan i Radziwiłł korzystają z niego dla badania wartości logarytmu zespolonego funkcji zeta na linii krytycznej [18].
Kombinatoryczna teoria liczb korzysta w swoich badaniach z wyników teorii liczb, kombinatoryki, analizy harmonicznej i teorii ergodycznej. Przykładowo, twierdzenie Greena-Tao wykorzystuje twierdzenie Szemerédiego zmodyfikowane dla liczb pierwszych[19][20].
Niektórych gałęzi teorii liczb nie można jednoznacznie zaklasyfikować do danego działu, metody mogą się między nimi przeplatać. Przykładem może być teoria sit, która korzysta przede wszystkim z twierdzeń elementarnych, ale bywa nazywana poddziedziną analitycznej teorii liczb, ponieważ korzysta z części jej wyników. Dodatkowo, w ostatnich pracach naukowych metody sit bywają często przeplatane z metodami analitycznej teorii liczb lub innych dziedzin[21].
Początki teorii liczb sięgają starożytności; przykładowo starożytni mieszkańcy Mezopotamii oraz Egiptu mogli rozważać problem trójek pitagorejskich[potrzebny przypis]. Największe postępy w tej dziedzinie zrobiła jednak kultura starogrecka. Odnotowano serię postępów na przestrzeni niecałego tysiąclecia, od okresu klasycznego do czasów cesarskiego panowania rzymskiego:
Teorią liczb mógł się zajmować także Archimedes, ale raczej marginesowo; nowe odkrycia historyczne mogą ten pogląd zmienić[potrzebny przypis].
Równolegle rozwijano matematykę w Indiach, w sposób komplementarny do tego greckiego i znaczący dla teorii liczb. Systemy pozycyjne uprościły wiele obliczeń i pozwoliły na sformułowanie cech podzielności liczb całkowitych. Matematycy chińscy rozważali za to układy kongruencji, na temat których udowodnili chińskie twierdzenie o resztach. Uczeni arabscy mieli w tę dziedzinę ograniczony wkład – w matematyce skupili się na trygonometrii i algebrze[22], choć ta druga dziedzina później wpłynęła na rozwój teorii liczb.
W XIII-wiecznych Włoszech kupiec Leonardo Fibonacci podał jedną z metod generowania trójek pitagorejskich, a oprócz tego opisał ciąg Fibonacciego, również istotny z punktu widzenia teorii liczb. Problem nieskończoności liczb pierwszych w tym ciągu w lutym 2022 pozostaje otwarty.
XVII wiek to umowny początek nowożytnej teorii liczb i jej statusu samodzielnej nauki[22]. Rozwijał ją wtedy Pierre de Fermat i miał w tej dziedzinie co najmniej pięć znaczących osiągnięć:
W tym samym stuleciu:
XVII wiek to także narodziny nowych dziedzin matematyki, które okazały się istotne dla teorii liczb:
W XVIII wieku Leonhard Euler – jak wspomniano wyżej – obalił hipotezę Fermata o liczbach nazwanych jego nazwiskiem[23]. Oprócz tego Euler:
Postępy poczynili też inni matematycy:
XIX wiek to narodziny nowych gałęzi w teorii liczb:
Rozwinięto też „klasyczne” badania liczb naturalnych:
Ogłoszone na koniec stulecia 23 problemy Hilberta zawierały kilka pytań z teorii liczb jak hipotezy Riemanna i Golbacha.
Postęp w teorii liczb naturalnych był wieloraki – rozwiązano niektóre stare problemy oraz postawiono nowe:
Naświetlono również same fundamenty arytmetyki liczb naturalnych. Kurt Gödel w swoim pierwszym twierdzeniu o niezupełności wykazał, że nie może ona być jednocześnie zupełna i niesprzeczna. Wśród nowo poznanych liczb pierwszych znalazły się osobliwości jak liczba Belfegora. Nie dość, że w zapisie dziesiętnym jest palindromem, to jeszcze zawiera w nim liczbę bestii (666), a liczba zer po obu stronach tego symbolu wynosi 13 – także oznakę nieszczęść.
Posunięto też badania nad niewymiernością i przestępnością:
Wiek XX przyniósł też zastosowania dla teorii liczb – w latach 70. rozbudowano kryptografię klucza publicznego, w tym szyfr RSA; opisano także pierwsze związki teorii liczb z fizyką.
Stulecie zwieńczono ogłoszeniem listy siedmiu problemów millenijnych. Co najmniej dwa z nich mają bezpośredni związek z teorią liczb – jak hipoteza Riemanna.
Nowe tysiąclecie przyniosło między innymi:
Ogłoszono też pewne sukcesy, które w lutym 2022 dalej czekają na pełną weryfikację, choć są aktywnie badane przez społeczność akademicką:
W 2018 roku Michael Atiyah ogłosił, że udało mu się udowodnić hipotezę Riemanna i zaprezentował swoją próbę dowodu. Została ona odrzucona przez matematyków jako błędna. Wiele innych problemów teorii liczb – także postawionych elementarnie – w lutym 2022 pozostaje nierozwiązanych. Niektóre z nich to:
Wśród matematyków polskich znaczące wyniki w teorii liczb uzyskali między innymi:
Posiadaczem szeregu wyliczeniowych rekordów światowych jest Jarosław Wróblewski[potrzebny przypis]. Teorii liczb jest poświęcone polskie czasopismo „Acta Arithmetica”, założone w latach 30. XX w., później wydawane przez Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk (IM PAN).
Z polską narodowością i nauką polską bywa też wiązany Franz Mertens – pracownik m.in. Uniwersytetu Jagiellońskiego, zajmujący się analityczną teorią liczb. Jego hipoteza Mertensa, implikująca hipotezę Riemanna, okazała się jednak fałszywa – obalono ją w latach 80. XX w.[potrzebny przypis].
• Euklides z Aleksandrii (IV w. p.n.e.),
• Pierre de Fermat (XVII w.),
• Bernhard Riemann (XIX w.),
Do znaczących naukowców w tej dziedzinie należą[1]:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.