dział matematyki wyższej badający ciągłość i jej niezmienniki Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Topologia (gr. τόπος (tópos), miejsce, okolica; λόγος (lógos), słowo, nauka) – dział matematyki wyższej zajmujący się badaniem przestrzeni topologicznych, czyli najogólniejszych przestrzeni, dla których można zdefiniować pojęcie przekształcenia ciągłego[1]. Topologia bada zwłaszcza własności zachowywane przez homeomorfizmy – np. orientowalność powierzchni, genus („liczbę otworów”), istnienie (niepustego) brzegu i jego podstawowe cechy. Właściwości tego typu są nazywane niezmiennikami topologicznymi[1].
Nieformalnie mawia się, że własności topologiczne nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu obiektów, np. figur geometrycznych jak bryły i ich odpowiedniki o innej liczbie wymiarów. Przez deformowanie rozumie się tutaj dowolne odkształcanie – jak zginanie, rozciąganie czy skręcanie – ale bez rozrywania różnych części lub zlepiania różnych punktów[2]. Proces deformacji można wyobrazić sobie, przyjmując, że obiekt wykonano z gumy[3]. Pod tym kątem można analizować między innymi obiekty geometryczne jak przestrzenie euklidesowe, inne rozmaitości i ich podzbiory, a topologia wyrosła właśnie z geometrii i bywała określana jako teoria umiejscowienia (łac. analysis situs)[1]. Mimo to w ogólności nie posługuje się ona pojęciami ilościowymi jak odległość czy miara kąta; nie uwzględnia nawet niektórych jakościowych relacji geometrycznych jak równoległość prostych[1]. Taki minimalizm umożliwił uściślenie pojęć o geometrycznym rodowodzie jak krzywa czy abstrakcyjny wymiar zbioru, bez odwoływania się do algebry liniowej czy teorii miary. Topologia wkroczyła też w różne dziedziny matematyki odległe od jej korzeni. Przykładem jest analiza funkcjonalna[1] – intuicyjne pojęcie spójności można uogólnić m.in. na przestrzenie funkcyjne jak te Hilberta, Banacha czy jeszcze ogólniejsze przestrzenie liniowo-topologiczne, które stały się definiującym tematem tego działu matematyki. Metody topologiczne zastosowano nawet w teorii liczb[4][5].
Geneza topologii, zwłaszcza rozumianej potocznie, bywa wiązana z XVIII-wiecznymi początkami teorii grafów w pracach Leonharda Eulera. Mimo to topologia sensu stricto wyrosła w II połowie XIX wieku, na pograniczu geometrii, analizy i teorii mnogości. Została nazwana przez Johanna Listinga w 1847 roku[1], a ogólny obszar badań tej dziedziny – czyli przestrzeń topologiczną – zdefniowano na początku XX wieku, w pracach Feliksa Hausdorffa i Kazimierza Kuratowskiego[6]. Od tego czasu wykształciły się całe zróżnicowane gałęzie tej nauki – oprócz topologii ogólnej i mnogościowej powstały między innymi topologia algebraiczna, różniczkowa i geometryczna[7]. Badają one różne szczególne klasy przestrzeni topologicznych, niezmienniki specjalnych typów homeomorfizmów – jak np. dyfeomorfizmy – i czerpią przy tym z różnych działów matematyki, zwłaszcza teorii grup. Osobną, owocną dyscypliną stała się też teoria węzłów, bliska korzeniom topologii w jakościowej stereometrii (trójwymiarowej geometrii euklidesowej). Topologia była jednym z głównych obszarów badań warszawskiej szkoły matematycznej, a osiągnięcia Polaków w tej dziedzinie upamiętniono m.in. nazwą przestrzeni polskiej. Prace Samuela Eilenberga w topologii algebraicznej przyczyniły się do powstania teorii kategorii; wiązanej głównie z algebrą i odgrywającej dużą rolę w różnych obszarach matematyki oraz poza nią.
Pytania postawione przez topologię uznano za doniosłe. W 2000 roku hipotezę Poincarégo w topologii algebraicznej umieszczono na liście siedmiu problemów milenijnych, a rozwiązanie jej przez Grigorija Perelmana nagrodzono dodatkowo (odrzuconym przez laureata) Medalem Fieldsa[a]. Już wcześniej odznaczano tym medalem badania nad tą hipotezą, m.in. przez Stephena Smale’a, Michaela Freedmana i Williama Thurstona. Wybitne postępy w topologii nagradzano też innymi najwyższymi zaszczytami dostępnymi matematykom jak Nagroda Abela i Medal Copleya. Topologia wywiera też bezpośredni wpływ na rozmaite kierunki fizyki teoretycznej – teorię cząstek elementarnych (np. teorię strun), informatykę kwantową[9], biofizykę molekularną czy fizykę materii skondensowanej; przykładowo była wprost wspomniana w uzasadnieniu Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki za 2016 rok[b]. Pojęcia i wyniki topologiczne mają też znaczenie dla kosmologii – otwartym pozostaje pytanie o kształt Wszechświata; rozważano modele o różnych, czasem nietrywialnych ułożeniach czasoprzestrzeni[10].
Przez Królewiec przepływa rzeka Pregoła, dzieląc miasto na dwie części; na niej dodatkowo znajdują się dwie wyspy (Knipawa i Lomse), co pokazuje ilustracja obok. Zastanawiano się, czy możliwe jest przejście przez wszystkie mosty królewieckie, pokonując każdy z nich co najwyżej raz[11][12][13].
W postawionym problemie nieważne są odległości między mostami, ich długości, współliniowość punktów ani kąty. Zagadnienie mostów królewieckich rozwiązał w 1736 roku Leonhard Euler, który wykazał, że jest to niemożliwe[13].
Podobnie topologiczny charakter ma twierdzenie Eulera o wielościanach wypukłych, które mówi, że suma liczby wierzchołków takiego wielościanu oraz liczby jego ścian równa jest liczbie krawędzi powiększonej o dwa. Wynik nie zależy od długości krawędzi czy kątów (poza wypukłością). Dziś o tym twierdzeniu mówi się jako o twierdzeniu o sferze dwuwymiarowej, uogólnionym przez Henriego Poincaré na dowolne wielościany, a przez Solomona Lefschetza na odwzorowania ciągłe wielościanów w siebie.
Wspomniane historycznie pierwsze wyniki topologiczne zostały uzyskane na długo przed ustanowieniem topologii jako osobnego działu matematyki, dlatego powszechnie uważa się Eulera za jej prekursora. Twierdzenia te mają charakter kombinatoryczny, z tego też powodu poprzedniczkę dzisiejszej topologii algebraicznej nazywano niegdyś topologią kombinatoryczną.
Nieco inny charakter ma klasyczne twierdzenie Weierstrassa w analizie: każda funkcja ciągła rzeczywista zdefiniowana na odcinku domkniętym jest ograniczona i osiąga swoje kresy. Podobnie jak w przypadku twierdzeń Eulera, wspomniane zdanie ma wymiar geometryczny, gdyż mówi o geometrycznych własnościach wykresów, ale różni się zasadniczo od twierdzeń geometrii klasycznej – takich jak na przykład twierdzenie Pitagorasa: w geometrii liczą się miary kątów, boków, powierzchni, ich proporcje oraz to, czy dane punkty leżą na jednej prostej, krzywej lub płaszczyźnie. Wszystkie te zagadnienia nie mają znaczenia w powyższych przykładach twierdzeń topologicznych.
Za twórcę topologii uważa się Bernharda Riemanna, który jako pierwszy prowadził badania stricte topologiczne, choć pewne wyniki, które dziś zaliczamy do topologii, znane były już wcześniej.
Jako osobna dziedzina matematyki topologia zaczęła się rozwijać u progu XX wieku, a przez kolejne 50 lat była najbujniej rozwijającą się dziedziną matematyki, w czym niemały udział mieli matematycy skupieni w polskiej szkole matematycznej. W początkowym okresie rozwoju topologii matematycy określali nową dziedzinę jako geometria situs (łac. geometria położenia/miejsca) lub analysis situs (łac. analiza położenia/miejsca).
Termin „topologia” został po raz pierwszy użyty w druku przez niemieckiego matematyka Johanna Benedicta Listinga w 1847[14], a około roku 1920 uznano powstanie nowej dziedziny matematyki. Matematyków zajmujących się topologią zaczęto nazywać topologami.
Jednymi z najważniejszych wydarzeń w historii topologii są:
Korzenie topologii tkwią w geometrii i często mówi się o topologii jako o jednej z geometrycznych dziedzin matematyki. Z drugiej strony, topologia ogólna wyrosła z analizy matematycznej. Zarówno w geometrii, jak i w analizie ważnym pojęciem jest odległość. Odległość można zdefiniować na wiele sposobów w przestrzeni euklidesowej, jak i w innych przestrzeniach. Zbiór ze zdefiniowaną odległością (tzw. metryką) jest zwany przestrzenią metryczną.
Zauważono jednak, że wiele własności obiektów studiowanych w analizie może być scharakteryzowanych przy użyciu jedynie zbiorów otwartych bez potrzeby odwoływania się do pojęcia metryki. Zbiory otwarte w przestrzeni metrycznej to takie zbiory, które są sumami (również nieskończonymi) kul otwartych, a więc zbiorów punktów odległych od zadanego punktu (środka) o mniej niż zadana odległość (promień). Często okazuje się, że poznanie struktury zbiorów otwartych jest bardziej użyteczne niż badanie przestrzeni za pomocą metryki.
Otoczenia to zbiory spełniające następujące warunki:
Niektórzy autorzy do definicji dodają warunek, iż otoczenie musi być zbiorem otwartym.
Otoczenie punktu można sobie wyobrazić jako dowolną figurę, wewnątrz której znajduje się punkt Każdy punkt przestrzeni euklidesowej posiada nieskończenie wiele otoczeń, z których niektóre zawierają się w innych. To zawieranie się otoczeń jest jedynym odpowiednikiem informacji o odległości danych punktów. Z drugiej strony otoczenia zostają zachowane przy homeomorficznych przekształceniach przestrzeni, co sprawia, że są w topologii użytecznym narzędziem.
Mając dany zbiór punktów i bazę ich otoczeń, możemy wygenerować przestrzeń topologiczną – wystarczy za zbiór otwarty uznać zbiór dla którego nie istnieją punkty brzegowe, czyli takie, których wszystkie otoczenia zawierają zarówno punkty ze zbioru jak i spoza tego zbioru (patrz rysunek obok).
Topologią na zbiorze nazywa się dowolną rodzinę podzbiorów spełniającą następujące warunki:
Elementy tej rodziny nazywane są zbiorami otwartymi w ich dopełnienia nazywane są zbiorami domkniętymi, a parę nazywa się przestrzenią topologiczną.
W danej przestrzeni można na ogół utworzyć wiele różnych topologii. Jeżeli topologię w można utworzyć, posługując się jakąś metryką, to o przestrzeni mówi się, że jest metryzowalna. Np. metryzowalne są przestrzenie euklidesowe (prosta rzeczywista, płaszczyzna, przestrzeń trójwymiarowa itd.). Badane w topologii własności są uogólnieniami własności znanych z tychże przestrzeni.
Istnieją również przestrzenie topologiczne niemetryzowalne (np. iloczyn kartezjański nieprzeliczalnej rodziny co najmniej dwupunktowych przestrzeni topologicznych z topologią Tichonowa), dlatego też pojęcie przestrzeni topologicznej jest uogólnieniem pojęcia przestrzeni metrycznej.
Pewne wyobrażenie o tym, czym zajmuje się topologia przestrzeni euklidesowych, można sobie wyrobić, jeżeli przywoła się przed oczy obraz zbiorów wykonanych z gumy. Z punktu widzenia topologii interesujące jest np. to, że węzeł (pokazany na rysunku obok) nie daje się bez rozcinania sprowadzić do euklidesowego okręgu, nie jest natomiast ważne, jakie ten węzeł ma rozmiary i krzywiznę „pętelek”, co byłoby istotne w geometrii.
Formalnie dwie przestrzenie są homeomorficzne, jeśli istnieje ciągła bijekcja z jednej z nich na drugą, której odwrotność też jest ciągła.
Gdy przestrzeń X daje się homeomorficznie odwzorować na przestrzeń Y, to przestrzenie X i Y mają takie same własności topologiczne i z punktu widzenia topologii są nieodróżnialne (homeomorficzne), mogą być traktowane jako różne egzemplarze tej samej przestrzeni. Przykładami własności topologicznych zachowywanych przez homeomorfizm są spójność („składanie się z jednego kawałka”) i wymiar (topologiczny) przestrzeni.
Nietrudno teraz podać inne przykłady przestrzeni, które dla topologa niczym się nie różnią. Kulka plasteliny jest tym samym, co ulepiona z niej żyrafa (o ile podczas jej lepienia nie rozerwiemy i nie skleimy ze sobą wygiętych i rozciągniętych kawałków), trójkąt jest tym samym co kwadrat (a nawet koło).
Zgodnie z klasyfikacją badań naukowych w matematyce prowadzoną przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, współczesne badania topologiczne są podzielone na trzy poddziały.
Obiektem badań tutaj są przestrzenie topologiczne w swojej najogólniejszej postaci[19], ale często również wyposażone w dodatkową strukturę (np. metrykę) lub posiadające dodatkowe własności (np. bada się przestrzenie zwarte). Typowe tematy rozważań w topologii ogólnej to np. aksjomaty oddzielania, zachowywanie różnych własności w iloczynach przestrzeni topologicznych, czy też przez ciągłe obrazy, własności pierścienia funkcji ciągłych na danej przestrzeni, uzwarcenia przestrzeni topologicznych, czy też funkcje kardynalne. Korzysta się tu często z metod teorii mnogości i nierzadko można spotkać twierdzenia zakładające aksjomat Martina, PFA czy wyniki forsingowe dotyczące niezależności pewnych stwierdzeń od aksjomatów ZFC.
Poddziałami topologii rozmaitości są:
Topologia różniczkowa zakłada o rozmaitościach topologicznych, że mają również strukturę różniczkową. W dziale tym stosuje zatem metody różniczkowe analizy matematycznej, w szczególności teorię Morse’a. Za początek topologii różniczkowej przyjmuje się odkrycie przez Johna Milnora niedyfeomorficznych struktur różniczkowych na siedmiowymiarowej sferze.
Poza wymienionymi wyżej trzema głównymi działami topologii wyróżnia się także:
Pierwszą monografią poświęconą topologicznej teorii wymiaru jest klasyczna książka autorstwa Witolda Hurewicza i Henry’ego Wallmana pt. Dimension Theory.
Wielu matematyków miało istotny wkład do topologii nieskończeniewymiarowej; wśród głównych pionierów należy wymienić Richarda Andersona. Głównych twórców, ze względu na rozmach i kompletność wyników, jest czterech (alfabetycznie): Thomas Chapman, Robert Edwards (matematyk), Henryk Toruńczyk oraz James West. Przy tym metody i prace Toruńczyka są szczególnie eleganckie.
U podstawy teorii legły dwa, dopiero po latach rozwiązane pytania:
Drugie pytanie wymyślił i wpisał Karol Borsuk do Księgi szkockiej. O odpowiedzi-rozwiązaniu przez kolegów matematyków James West poinformował uczestników konferencji w Baton Rouge (Louisiana State University), tak określając dwa niezależne dowody: Anderson – terrible argument; Andrzej Szankowski – beautiful argument! (West mógł tak, nieco żartobliwie, powiedzieć jako uczeń Andersona, obecnego w czasie wykładu na sali).
Podstawowym wczesnym pojęciem był Z-zbiór (patrz Chapman, Lectures on Hilbert Cube Manifoldes, ISBN 0-8218-1678-0). Wprowadzili je niezależnie i opublikowali w tym samym czasie Anderson i Włodzimierz Holsztyński (w różnych czasopismach; tylko wcześniej wymieniona publikacja była zauważona).
Wśród wczesnych specjalistów należy wymienić, między innymi, Czesława Bessagę i Victora Klee.
Na pograniczu topologii oraz matematyki dyskretnej znajduje się ważna dziedzina, zwana teorią grafów. Najprostszy graf można sobie wyobrazić jako zbiór punktów (tzw. wierzchołków), z których niektóre połączone są liniami (tzw. krawędziami). Historycznie pierwsze zadanie topologii, dotyczące mostów królewieckich, zalicza się do tej dziedziny. Słynnym problemem teorii grafów, który bardzo długo opierał się udowodnieniu, było twierdzenie o czterech barwach, głoszące, że dowolną mapę polityczną, na której każdy kraj składa się z jednego tylko kawałka (na sferze lub płaszczyźnie – to przypadki równoważne), można zabarwić używając tylko czterech kolorów tak, aby żadne dwa kraje mające wspólną granicę (dłuższą niż punkt) nie miały tego samego koloru (zobacz rysunek).
Klasycznym wynikiem teorii grafów jest twierdzenia Kazimierza Kuratowskiego, charakteryzujące topologicznie grafy płaskie.
Metody topologiczne stosuje się w wielu rozważaniach matematycznych, począwszy od analizy, przez geometrię, równania różniczkowe, aż na algebrze skończywszy, gdyż dostarcza ona matematykom wspólnego języka umożliwiającego dość ogólne spojrzenie geometryczne na problemy.
Przykładem rozumowania topologicznego może być dowód twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłej rzeczywistej, określonej na prostej rzeczywistej która nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie. Pierwszy konkretny przykład takiej funkcji podał niemiecki matematyk Karl Weierstraß. Poszukiwanie kolejnych tego typu przykładów nastręczało wielu trudności, zastanawiano się nad ogólną formą i liczbą takich funkcji. Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 topologiczny dowód istnienia takich funkcji:
Dowód ten wykazuje istnienie funkcji nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie, jednak nie wskazuje konkretnego przykładu takiej funkcji.
Głównym ośrodkiem rozwoju topologii w Polsce była Warszawska szkoła matematyczna, współpracująca z lwowską szkołą matematyczną. Wśród polskich matematyków wkład w rozwój topologii wnieśli, między innymi:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.