Twierdzenie Dijkstry o trójkątach

Twierdzenie Dijkstry o trójkątach – twierdzenie określające związek między kątami i bokami w trójkącie. Sformułowane przez Edsgera Dijkstrę w okólniku EWD975 z 1986 roku^[1][2].

W epilogu okólnika autor pisze: „Znajduję się w paradoksalnej sytuacji. Jestem przekonany, że spośród osób znających twierdzenie Pitagorasa, niemal nikt nie jest w stanie przeczytać powyższego nie zaskoczywszy się choć raz. Co więcej, uważam te wszystkie zaskoczenia za istotne (ponieważ świadczą o ich [roli w] kształceniu rozumowania). Mimo to nie znam żadnego szanowanego periodyku, w którym mógłbym podjąć ten daremny trud”, przy czym ostatnie sformułowanie odnosi się do pozornie bezowocnego zajmowania się twierdzeniem Pitagorasa^[1][2].

Twierdzenie

Jeżeli w dowolnym trójkącie naprzeciw boków długości ${\displaystyle a,b}$ i ${\displaystyle c}$ znajdują się odpowiednio kąty ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,}$ to zachodzi równość:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-c^{2}),}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ oznacza funkcję signum.

Dowód

Jest to trywialny wniosek z twierdzenia cosinusów:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-c^{2})=\operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cos \gamma )=\operatorname {sgn}(2ab\cos \gamma )=\operatorname {sgn}(\cos \gamma ),}$

z drugiej strony

${\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(\alpha +\beta +\gamma -2\gamma )=\operatorname {sgn}(180^{\circ }-2\gamma )=\operatorname {sgn}(90^{\circ }-\gamma ).}$

Równość znaków wyrażeń

${\displaystyle \cos \gamma ,\quad 90^{\circ }-\gamma }$

wynika natomiast z własności funkcji ${\displaystyle \cos }$^[2][3].