Twierdzenie Peana

Twierdzenie Peana – twierdzenie o istnieniu rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego dla ciągłego odwzorowania podzbioru ${\displaystyle I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}$ Opublikowane przez Giuseppe Peana w 1886 z błędnym dowodem. W 1890 dowód został przeprowadzony poprawnie przy użyciu metod aproksymacyjnych (zob. metoda Eulera). Obecnie, twierdzenia dowodzi się przy użyciu twierdzenia Schaudera o punkcie stałym i kryterium zwartości Ascoliego-Arzeli.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle I=[a,b]}$ i niech ${\displaystyle f\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}$ Jeżeli istnieje kula ${\displaystyle k(\eta ,r)\subset \mathbb {R} ^{n}}$ taka, że ${\displaystyle f|_{I\times k(\eta ,r)}}$ jest ciągłe, to istnieje ${\displaystyle \alpha >0}$ takie, że zagadnienie Cauchy’ego:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}y'=f(x,y)\\y(\tau )=\eta \end{array}}\right.}$

ma przynajmniej jedno rozwiązanie w przedziale ${\displaystyle (\tau -\alpha ,\tau +\alpha ).}$

Zobacz też

• twierdzenie Picarda

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce