Wahadło sferyczne

Wahadło sferyczne – punktowa masa zawieszona na nierozciągliwej nici zamocowanej w punkcie. Swobodę ruchu wahadła ogranicza tylko nić.

Wahadło sferyczne, kąty i prędkości

Wahadło sferyczne ma położenie równowagi, w którym nić wahadła jest pionowa^[1].

Wahadło takie w ogólności porusza się po elipsie wykreślonej na powierzchni sfery ograniczającej ruch wahadła.

Historia

Pierwsze systematyczne prace nad badaniem ruchu wahadła sferycznego prowadził w drugiej połowie XVII wieku Christiaan Huygens. W swej pracy dotyczącej konstrukcji dokładnego zegara z wahadłem stożkowym wymienia kilkanaście związków między prędkością, promieniem, okresem ruchu wahadła stożkowego i ich znaczenie w praktycznej konstrukcji zegara^[2].

W publikacji z 1735 roku Alexis Clairaut znajduje wyrażenia na małą zmianę położenia wahadła. Zapisuje wyrażenia całkowe na ruch wahadła sferycznego i wskazuje, że nie można ich rozwiązać analitycznie. Zapisuje wyrażenia na najmniejszą i największą wysokość wahadła w zależności od jego położenia i prędkości początkowej. Znajduje zależność czasu wahnięcia od wysokości maksymalnej wahadła. Rozwiązuje niektóre szczególne przypadki ruchu wahadła.

Postęp w analizie wahadła wnosi nowy formalizm analizy ruchu prowadzony przez Lagrange’a w 1788 roku. Choć nie zachowały się publikacje Lagranga opisujące rozwiązania wahadła, to autorzy podręczników z XIX w odsyłają do jego prac.

W XIX wahadło sferyczne nie wzbudzało większego zainteresowania. Było tylko kilka krótkich prac na jego temat. Jedną z nich były praca Puiseux z 1842 roku, w której autor koncentruje się na własnościach orbity, a nie na szukaniu pełnego rozwiązania. Udowadnia matematycznie, obserwowane własności orbity. Bez względu na parametry początkowe ruchu minimalna wysokość wahadła jest poniżej punktu zawieszenia (kąt większy od 90°). W płaszczyźnie poziomej ruchu wahadła opisuje elipsa, której osie obracają się (precesja) w tym samym kierunku w którym obciążnik obiega elipsę. W 1851 roku George Biddell Airy formułuje wzór na precesję wahadła^[3], wykonuje eksperymenty z ruchem wahadła^[4].

Richelot wydaje pracę, w której rozważa wahadło w przybliżeniu małych drgań jako równania i rozpatruje zaburzenia jego ruchu w wyniku wzrostu amplitudy, oporów.

Prawdopodobnie jako pierwszy w 1852 roku Tissot wprowadza nową teorię całek funkcji eliptycznych do opisu wahadła sferycznego.

Przybliżenie małego kąta wychyleń

Dla małych kątów wychyleń można przyjąć, że ${\displaystyle sin\theta =\theta ,}$ wówczas równania ruchu można opisać w kartezjańskim układzie współrzędnych:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {mg}{l}}x,}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-{\frac {mg}{l}}y.}$

Rozwiązania można zapisać jako:

${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\phi _{x}),}$

${\displaystyle y(t)=B\cos(\omega t+\phi _{y}),}$

gdzie:

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {g}{l}}.}$

W tym przybliżeniu wahadło takie bez względu na warunki początkowe wykonuje drgania z częstotliwością taką samą jak wahadło matematyczne.

Stałe ruchu A_x, A_y, ${\displaystyle \phi _{x},\phi _{y}}$ określa się na podstawie warunków początkowych ruchu wahadła^[1]. Przyjmując, że w chwili ${\displaystyle t=0}$ wahadło znajduje się w punkcie nawrotu (x <> 0, y = 0, Vx <> 0 i Vy = 0), to równania ruchu można zapisać:

${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t),}$

${\displaystyle y(t)=B\sin(\omega t).}$

Są to równania parametryczne elipsy o półosiach A i B. Wahadło porusza się po elipsie bez zmiany płaszczyzny osi elipsy.

Opis matematyczny

Współrzędne wahadła

Położenie wahadła można opisać w kartezjańskim układzie współrzędnych lub w sferycznym o początku w punkcie zawieszenia wahadła. Oś z jest pionowa.

Związki między współrzędnymi^[5]:

${\displaystyle x=l\sin \theta \cos \phi ,}$

${\displaystyle y=l\sin \theta \sin \phi ,}$

${\displaystyle z=l\cos \theta .}$

Energia potencjalna i kinetyczna wahadła:

${\displaystyle E_{p}=mgz=-mgl\cos \theta ,}$

${\displaystyle E_{k}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}ml^{2}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}).}$

Lagranżjan dla tego układu wynosi:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}({\dot {\theta }}^{2}+sin^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2})+mgl\cos \theta .}$

Pochodna względem szybkości zmiany kąta θ jest momentem pędu wahadła względem osi z i jest stała:

${\displaystyle M_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=ml^{2}sin^{2}\theta {\dot {\phi }}.}$

Równanie ruchu wahadła:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \theta }}=0.}$

Z równania ruchu wynika:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{l}}\sin \theta -\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}=0.}$

W ogólności równania nie można rozwiązać metodami analitycznymi.

Wahadło proste

Jeżeli φ jest stałe, wówczas jego pochodna jest równa 0, skutkuje tym, że trzeci wyraz jest równy 0, wówczas równanie sprowadza się do równania wahadła matematycznego.

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0.}$

Wahadło takie porusza się w płaszczyźnie.

Wahadło stożkowe

Jeżeli wahadło nie zmienia swej odległości od punktu równowagi (θ jest stała), równanie sprowadza się do:

${\displaystyle {\frac {g}{l}}=\cos \theta {\dot {\phi }}^{2}.}$

Co prowadzi do wyrażeń na częstość i okres wahadła:

${\displaystyle \omega ={\dot {\phi }}={\sqrt {\frac {g}{l\cos \theta }}}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {\cos \theta }}}.}$

Wahadło porusza się po poziomym okręgu, a powyższe równanie określa prędkość kątową ciała w tym ruchu. Promień okręgu wynosi:

${\displaystyle R=l\cos \theta .}$

Dla małych promieni częstość, a tym samym i okres drgań, jest taki jak dla wahadła prostego. W miarę wzrostu częstości rośnie wychylenie.

Precesja

Tor ruchu wahadła sferycznego.

Przyjmując, że wahadło sferyczne jest zaburzonym wahadłem stożkowym, wprowadzając oznaczenie

${\displaystyle \theta =\theta _{0}+\partial \theta ,}$

gdzie:

${\displaystyle \theta _{0}}$ – częstość wahadła stożkowego.

Po rozłożeniu równania wahadła w szereg Taylora i pozostawiając jedynie wyrazy pierwszego stopnia, w przybliżeniu:

${\displaystyle \partial {\ddot {\theta }}+{\dot {\phi }}_{0}^{2}(1+3cos^{2}\theta _{0})\partial \theta \approx 0.}$

Rozwiązaniem tego równania jest:

${\displaystyle \theta \approx \theta _{0}+\partial \theta _{0}\cos(\Omega t),}$

gdzie:

${\displaystyle \Omega ={\dot {\phi }}_{0}{\sqrt {1+3\cos ^{2}\theta _{0}}}.}$

Zatem kąt ${\displaystyle \theta }$ wykonuje prosty ruch harmoniczny o średniej wartości ${\displaystyle \theta _{0},}$ zmieniając się z częstością kątową ${\displaystyle \Omega .}$

Teraz kąt ${\displaystyle \phi }$ jest zwiększony o

${\displaystyle \Delta \phi \approx {\dot {\phi }}_{0}{\frac {\pi }{\Omega }}={\frac {\pi }{\sqrt {1+3\cos ^{2}\theta _{0}}}}.}$

Kąt nachylenia względem pionowej, ${\displaystyle \theta ,}$ przechodzi pomiędzy kolejnymi maksimami i minimami. Jeżeli, ${\displaystyle \theta _{0}}$ jest mały, to ${\displaystyle \Delta \phi }$ jest nieco większa niż ${\displaystyle \pi /2.}$ Skoro, ${\displaystyle \Delta \phi }$ jest nieco większa niż ${\displaystyle \pi /2}$ (90°) oznacza, że kształt ten precesuje wokół osi z w tym samym kierunku co obrót wahadła. Precesja wzrasta gdy kąt nachylenia ${\displaystyle \theta _{0}}$ wzrasta.

Dla wahadła poruszającego się prawie w płaszczyźnie, precesję określa przybliżony wzór na prędkość kątową obrotu osi elipsy (precesja Airy)^[6]:

${\displaystyle \omega _{pr}={\frac {3A}{4l^{2}T}}={\frac {3}{8}}{\frac {ab}{l^{2}}}\omega _{w}={\frac {3}{8}}{\frac {ab}{g^{2}}}\omega _{w}^{5},}$

gdzie:

${\displaystyle a,\ b}$ – półosie elipsy,

${\displaystyle g}$ – przyspieszenie ziemskie,

${\displaystyle \omega _{w}}$ – częstość kołowa wahadła.

Zobacz też

• wahadło Foucaulta