Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – pojęcie z rachunku prawdopodobieństwa oznaczające średnią, ważoną prawdopodobieństwem, wartość zmiennej losowej. Intuicyjnie, jest to spodziewany średni wynik doświadczenia losowego przy jego wielokrotnym powtarzaniu^[1].

Wartość oczekiwana jest pierwszym momentem zwykłym.

Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Definicja formalna

Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ o wartościach w ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ to wartością oczekiwaną ${\displaystyle \mathbb {E} X}$ zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ nazywa się liczbę

${\displaystyle \mathbb {E} X:=\int \limits _{\Omega }Xd\mathbb {P} }$^[2] o ile ona istnieje, tzn. jeżeli:

${\displaystyle \mathbb {E} |X|=\int \limits _{\Omega }|X|d\mathbb {P} <+\infty }$^[3].

Zmienna dyskretna

W przypadku, gdy zmienna losowa ${\displaystyle X}$ ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n},}$ to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwaną ${\displaystyle \mathbb {E} X}$^[4]:

${\displaystyle \mathbb {E} X=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}}$^[5].

Jeżeli zmienna ${\displaystyle X}$ przyjmuje nieskończenie, ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje ${\displaystyle \infty }$ w miejsce ${\displaystyle n}$ (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).

Oznaczenia

Wartość oczekiwaną najczęściej oznaczamy literą E w różnych stylizacjach: ${\displaystyle {\text{E}},}$ ${\displaystyle {\mathit {E}}}$ lub ${\displaystyle \mathbb {E}$ ;} z różnym zapisem nawiasów: ${\displaystyle \mathbb {E} (X),}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [X],}$ ${\displaystyle \mathbb {E} X.}$ Innym popularnym oznaczeniem jest ${\displaystyle \mu _{X},}$ zaś w fizyce powszechnie używa się oznaczeń ${\displaystyle \langle X\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle X\rangle _{\text{av}}}$ i ${\displaystyle {\bar {X}}}$^[6].

Własności

Jeśli ${\displaystyle X}$ jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa ${\displaystyle f(x),}$ to jej wartość oczekiwana wynosi

${\displaystyle \mathbb {E} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }~xf(x)dx.}$

Jeżeli ${\displaystyle Y=\varphi (X)}$ jest funkcją mierzalną, to

${\displaystyle \mathbb {E} Y=\mathbb {E} \left(\varphi (X)\right)=\int \limits _{\mathbb {R} }~\varphi (x)f(x)dx.}$

Jeśli istnieją ${\displaystyle \mathbb {E} X}$ oraz ${\displaystyle \mathbb {E} Y,}$ to:

• ${\displaystyle \mathbb {E} c=c,}$ gdzie ${\displaystyle c}$ jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
• ${\displaystyle \forall _{a,b}\;\mathbb {E} (aX+b)=a\mathbb {E} X+b}$ (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
• jeżeli ${\displaystyle X,Y}$ są niezależne, to ${\displaystyle \mathbb {E} (XY)=\mathbb {E} X\mathbb {E} Y,}$
• jeżeli ${\displaystyle X\geqslant 0}$ prawie wszędzie, to ${\displaystyle \mathbb {E} X\geqslant 0,}$
• ${\displaystyle \mathbb {E} |X|\geqslant |\mathbb {E} X|.}$

W mechanice kwantowej

Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator ${\displaystyle {\hat {A}}}$ dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową ${\displaystyle \psi }$ wynosi

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\int \psi ^{*}(x){\hat {A}}(x,\partial /\partial x)\psi (x)dx,}$

gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.

W notacji Diraca wzór ten ma postać

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle .}$

Nieoznaczoność wartości oczekiwanej ${\displaystyle {\hat {A}},}$ czyli wariancja ${\displaystyle {\hat {A}},}$ wynosi

${\displaystyle (\Delta {\hat {A}})^{2}=\langle {\hat {A}}^{2}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle ^{2}.}$