Wektor jednostkowy

Wersor – wektor o długości jeden^[1], wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor się przypisuje. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ będzie przestrzenią unormowaną. Wersorem ${\displaystyle x^{\circ }}$ niezerowego wektora ${\displaystyle x\in X}$ nazywamy wektor

${\displaystyle x^{\circ }={\frac {x}{\|x\|}}.}$

Oczywiście ${\displaystyle x^{\circ }\in \operatorname {lin} (x)}$ oraz ${\displaystyle \|x^{\circ }\|=1.}$

W przestrzeniach współrzędnych wersor danego wektora zachowuje jego kierunek oraz zwrot.

Wersor osi

Wersorem osi nazywamy wektor długości (normie) 1 o kierunku i zwrocie zgodnym z pewną dodatnią półosią prostokątnego układu współrzędnych. Dla osi ${\displaystyle OX,OY,OZ}$ oznacza się je tradycyjnie na kilka sposobów:

• symbolami ${\displaystyle i,j,k,}$
• ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},}$
• ${\displaystyle e_{x},e_{y},e_{z},}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}.}$

Przykłady

• W przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ze zwykłym iloczynem skalarnym wersorem wektora ${\displaystyle \mathbf {x} =\left[{\begin{smallmatrix}2\\3\\4\end{smallmatrix}}\right]}$ jest wektor ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\circ }={\frac {1}{\sqrt {2^{2}+3^{2}+4^{2}}}}\left[{\begin{smallmatrix}2\\3\\4\end{smallmatrix}}\right]=\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {2}{\sqrt {29}}}\\{\frac {3}{\sqrt {29}}}\\{\frac {4}{\sqrt {29}}}\end{smallmatrix}}\right].}$
• W przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} _{2}[X]}$ (tj. przestrzeni wielomianów stopnia nie większego niż 2 zmiennej rzeczywistej) z iloczynem skalarnym ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{-1}^{1}f(x)g(x)dx}$ i normą ${\displaystyle \|f\|={\sqrt {\langle f,f\rangle }}}$ wersorem wektora ${\displaystyle f(X)=X^{2}+X+1}$ jest wektor

${\displaystyle f^{\circ }(X)={\frac {X^{2}+X+1}{\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}(X^{2}+X+1)(X^{2}+X+1)dX}}}={\frac {X^{2}+X+1}{\sqrt {\tfrac {22}{5}}}}={\sqrt {\tfrac {5}{22}}}X^{2}+{\sqrt {\tfrac {5}{22}}}X+{\sqrt {\tfrac {5}{22}}}.}$

Zobacz też

Zobacz hasło wersor w Wikisłowniku

• ortogonalizacja Grama-Schmidta
• tensor

Uwagi

• Baza ortogonalna złożona z wersorów jest bazą ortonormalną.
• W fizyce zamiast ${\displaystyle x^{\circ }}$ stosuje się zapis ${\displaystyle {\vec {e}}_{x}}$ lub ${\displaystyle {\hat {x}}.}$