Zasada d’Alemberta

Zasada d’Alemberta – sposób ogólnego sformułowania praw ruchu dla układu punktów materialnych, których ruch ograniczony jest więzami holonomicznymi dwustronnymi. Z zasady d’Alemberta można wyprowadzić równania Lagrange’a pierwszego rodzaju.

Ten artykuł dotyczy mechaniki. Zobacz też: zasada d’Alemberta w robotyce.

Zgodnie z zasadą d’Alemberta dla układu n punktów materialnych

„Praca zsumowanych sił zewnętrznych i sił bezwładności na drodze będącej przesunięciem wirtualnym, czyli praca wirtualna, jest równa zeru”.

Zasadę tę można zapisać wzorami

${\displaystyle \delta W=0,}$

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left({\vec {F}}_{i}+{\vec {F}}_{\mathrm {b} i}\right){\delta }{\vec {r}}_{i}=0,}$

gdzie:

${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$ – siła działająca na ${\displaystyle i}$-ty element układu,

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {b} i}=-m_{i}{\vec {a}}_{i}}$ – siła bezwładności działająca na ${\displaystyle i}$-ty element układu o masie ${\displaystyle m_{i},}$

${\displaystyle {\vec {a}}_{i}}$ – przyspieszenie ${\displaystyle i}$-tego elementu układu,

${\displaystyle \delta {\vec {r}}_{i}}$ – przesunięcie wirtualne ${\displaystyle i}$-tego elementu układu.

Sformułowana przez d’Alemberta^[1], w postaci analitycznej zasada została zapisana przez Lagrange’a w Méchanique Analitique z roku 1788.

Więzy określone są przez ${\displaystyle m}$ równań

${\displaystyle f_{j}\left(x,y,z,t\right)=0,}$

gdzie ${\displaystyle j=1,2,\dots ,m.}$ Dla każdego z tych równań współrzędne przesunięć wirtualnych muszą spełniać warunki

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}\delta x_{i}+{\frac {\partial f_{j}}{\partial y_{i}}}\delta y_{i}+{\frac {\partial f_{j}}{\partial z_{i}}}\delta z_{i}\right)=0.}$

Zasada d’Alemberta może zostać uogólniona dla układów o więzach nieholonomicznych.

Związek z II zasadą dynamiki Newtona

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wypadkowa siła działająca na każdy element układu powoduje jego przyspieszenie zgodnie z równaniem

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {wi} }={\vec {a}}_{i}m_{i}.}$

Siły wypadkowe można rozdzielić na siły reakcji więzów ${\displaystyle F_{\mathrm {R} i}}$ i pozostałe działające siły ${\displaystyle F_{i},}$ wówczas

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {Ri} }+{\vec {F}}_{i}={\vec {a}}_{i}m_{i},}$

stąd

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {Ri} }+{\vec {F}}_{i}-{\vec {a}}_{i}m_{i}=0.}$

Trzeci człon w tym równaniu może być również traktowany jak siła. Siłę tę d’Alembert nazwał siłą bezwładności. Praca wirtualna wszystkich tych sił na drodze stycznej do hiperpowierzchni, określonej przez równania więzów, a określonej w przestrzeni stanów^[a], równa będzie

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left({\vec {F}}_{\mathrm {Ri} }+{\vec {F}}_{i}-{\vec {a}}_{i}m_{i}\right)\delta {\vec {r}}_{i}=0,}$

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{\mathrm {Ri} }\delta {\vec {r}}_{i}+\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\vec {F}}_{i}-{\vec {a}}_{i}m_{i}\right)\delta {\vec {r}}_{i}=0.}$

Ale siły reakcji są zawsze prostopadłe do powierzchni więzów, dlatego praca wirtualna wykonywane przez te siły zeruje się

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{\mathrm {Ri} }\delta {\vec {r}}_{i}=0,}$

stąd wynika

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left({\vec {F}}_{i}-{\vec {a}}_{i}m_{i}\right)\delta {\vec {r}}_{i}=0.}$

Widać stąd, że w porównaniu z równaniami Newtona, zasada d’Alemberta ma tę przewagę, że pozwala wyeliminować z rozważań siły reakcji.

Zobacz też

• zasada Lagrange’a

Uwagi

1. Na przykład w prostym przypadku równania więzów mogą wyznaczać krzywą lub powierzchnię, po której może poruszać się ciało.