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Análise complexa

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A análise complexa, também conhecida como a teoria das funções de variável complexa, é o ramo da matemática que investiga as funções de números complexos. Ela é útil em muitas áreas da matemática, incluindo geometria algébrica, teoria dos números, análise combinatória e matemática aplicada; além disso, ela é amplamente utilizada em vários ramos da física, como hidrodinâmica, termodinâmica e, em particular, mecânica quântica. Por consequência, o escopo teórico da análise complexa também possui aplicações nas várias divisões da engenharia, como nas engenharias nuclear, aeroespacial, mecânica e elétrica.

Já que uma função diferenciável de variável complexa é igual à soma de sua série de Taylor — isto é, também é uma função analítica — a análise complexa tem interesse particular nas funções analíticas de variável complexa, denominadas funções holomorfas.

Funções complexas

A teoria das funções de variável complexa tem como um de seus principais objetivos a extensão do cálculo diferencial e integral para o domínio dos números complexos.[1] Seja A um conjunto de números complexos. Se denota qualquer um dos números do conjunto A, então é denominado uma variável complexa. Se existe uma correspondência entre os valores da variável complexa para com uma outra variável complexa para cada valor possível de (elementos do conjunto A), então é uma função da variável complexa z no conjunto A e isto é denotado como O conjunto A é usualmente algum domínio, chamado domínio de definição da função

Como todo número complexo pode ser escrito na forma em que indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor a função complexa na forma Como nas funções reais, existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:

em que z é uma variável complexa, é uma função polinomial em variável complexa.

Limites de funções complexas

Seja f (z) uma função complexa definida nas vizinhanças do ponto z0, sendo possivelmente não definida no próprio ponto z0. De forma análoga ao caso real, define-se o limite L dessa função quando a variável z tende ao ponto z0 como sendo o valor da qual ela se aproxima (caso este exista) conforme z fica arbitrariamente próximo de z0. Em linguagem matemática formal, diz-se que

,

se, para cada número ε > 0 existe um outro número δ > 0 com a propriedade de que a desigualdade | f (z) - L | < ε é válida para todos os valores de z tais que | z - z0 | < δ e zz0.[2] Nessa definição, as barras || representam o módulo de um número complexo, definido como |z| = x2 + y2 para z = x + yi, em que x e y são as partes real e complexa de z, respectivamente. Uma notação alternativa também utilizada para denotar um limite é para .[2]

Algumas propriedades típicas dos limites de funções reais também podem ser aplicadas às funções complexas, por exemplo: 1) o limite da soma é igual a soma dos limites; 2) o limite do produto é igual ao produto dos limites; 3) o limite do quociente é igual ao quociente dos limites (dado que o denominador não seja 0); ...

As condições de continuidade para as funções complexas são as mesmas de uma função real.

Derivada de uma função complexa

Tomemos, à semelhança das funções reais, o limite denominado "derivada" da função em relação a no ponto Assim, como nas funções reais, uma função complexa tem de ser contínua em um ponto para que seja diferenciável neste ponto (mas a recíproca não é necessariamente verdadeira). As principais fórmulas de diferenciação empregadas nas funções reais tem sua versão análoga para as funções complexas.

Condições de Cauchy-Riemann

Suponha que a função f seja derivável em em que

e para a mudança correspondente em v(x,y). Então

e também:

Em particular, quando em que esses limites se tornam limites de funções de uma variável (\Delta x) de forma que:

ou seja, as derivadas parciais e com relação a x existem no ponto e

e

O procedimento análogo pode ser feito observando quando de forma que existem as derivadas parciais com relação a y e são elas:

e
no ponto

Dos dois procedimentos, chegamos às equações:

Que são as Condições de Cauchy-Riemann. Como chegamos à expressão no ponto Estabelece-se o Teorema:

Teorema. Se a derivada de uma função existe num ponto então as derivadas parciais de primeira ordem, com relação a e de cada componente e devem existir naquele ponto e satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Além disso, é dada em termos de suas derivadas parciais pela equação

Referências

  1. Ahlfors 1979, p. 21
  2. a b Ahlfors 1979, p. 22

Bibliografia

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