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Em geometria diferencial, numa variedade Riemanniana, há uma conexão canônica chamada conexão de Levi-Civita, por vezes, também conhecida como derivada covariante.[1] Como uma conexão no fibrado tangente, a conexão de Levi-Civita fornece um método bem definido para diferenciar campos vetoriais, formulários ou qualquer outro tipo de tensor.[2][3] O teorema que afirma a existência da conexão de Levi-Civita é chamado: Teorema fundamental da geometria riemanniana.[4]
No começo da geometria diferencial surgiram com Gauss diversos conceitos geométricos importantes que foram generalizados por muitos matemáticos, destacando-se entre eles Georg Friedrich Bernhard Riemann, o fundador da chamada geometria riemanniana, de onde surgiram os objetos matemáticos "conexão" e "curvatura".[5] O conceito de conexão surgiu dos trabalhos de Elwin Bruno Christoffel com a criação da chamada conexão de Christoffel. Posteriormente, as conexões foram estudadas por Tullio Levi-Civita que demonstrou a existência da conexão de Levi-Civita. Além disso, Levi-Civita explorou a relação entre o transporte paralelo e a curvatura para desenvolver a noção moderna de holonomia.
Sejam V,W campos de vetores numa variedade semi-Riemanniana, em cada ponto p ∈ M queremos calcular taxa de variação de W na direção de Vp. Isso pode ser feito naturalmente em n como a derivação de um campo com relação ao outro. No contexto de variedades, devemos introduzir o conceito de conexão.[6][7]
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